1.2.2同角三角函数的基本关系
考查知识点及角度 求值问题 化简证明问题 综合问题 难易度及题号 基础 2、3、4 1、5、6 中档 8、10 7、9 11
1．化简(1＋tan2 α)·cos2 α等于( ) A．－1 C．1
2
稍难 12 B．0 D．2
sin α2 α＝cos2 α＋sin2 α＝1. 1＋2?·解析：原式＝?cos?cos α?答案：C
2sin α－cos α2．若tan α＝2，则的值为( )
sin α＋2cos αA．0 C．1
2sin α－cos α2tan α－13解析：＝＝. sin α＋2cos αtan α＋24答案：B
5
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ ＋cos4 θ＝，则sin θcos θ＝( )
9A．－1C. 3
2 3
B.2 33B. 45D. 4
1D．－ 3
解析：∵θ是第三象限角，∴sin θcos θ＞0.又sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 522θ＝1－2sin2 θcos2 θ＝，∴sin2 θcos2 θ＝.∴sin θcos θ＝. 993
答案：B
4．已知tan α＝3，α为第三象限角，则sin α＝( ) 1
A. 2
1B．－ 2
C.
3 2
D．－
3 2
sin α
解析：∵tan α＝＝3，
cos α∴cos α＝
3
sin α.又sin2 α＋cos2 α＝1， 3
33
∴sin α＝±.又α为第三象限角，∴sin α＝－.
22答案：D
11?＋5．化简??sin αtan α?(1－cos α)的结果是________． 1cos α?
＋解析：原式＝??sin αsin α?(1－cos α) ＝
1＋cos α
sin α
1－cos α
1－cos2 α
＝
sin α
sin2 α＝＝sin α. sin α答案：sin α
6．已知tan2 α＝2tan2 β＋1，求证：sin2 β＝2sin2 α－1. 证明：因为tan2 α＝2tan2 β＋1， 所以tan2 α＋1＝2tan2 β＋2. sin2 βsin2 α?所以2＋1＝2?cos2 β＋1??. cos α12
所以2＝2.
cos αcos β
所以1－sin2 β＝2(1－sin2 α)，即sin2 β＝2sin2 α－1. 1－cos4 α－sin4α
7.化简：.
1－cos6 α－sin6 α解：方法一：原式 cos 2 α＋sin2 α＝
cos 2 α＋sin2 α
2－cos 4 α－sin4 α3
－cos 6 α－sin6 α
2cos 2 α·sin2 α2
＝＝.
33cos 2 α·sin2 αcos 2 α＋sin2 α1－
方法二：原式＝
1－
cos 4 α＋sin4 α
cos 6 α＋sin6 α
1－[cos 2 α＋sin2 α2－2sin2 αcos 2 α]
＝ 1－cos 2 α＋sin2 αcos 4 α－cos 2 αsin2 α＋sin4 α
1－1＋2cos 2 αsin2 α
＝ 1－[cos 2 α＋sin2 α2－3cos 2 αsin2 α]2cos 2 αsin2 α2＝＝. 3cos 2 αsin2 α3
1
8．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋tan α的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：tan α＋
1sin αcos α1tan α＝cos α＋sin α＝sin αcos α
. 又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1
2.
∴tan α＋1
tan α＝2.
答案：B
9．已知α是第三象限角，化简 1＋sin α
1－sin α
1－sin α
－
1＋sin α
得(A．tan α B．－tan α C．－2tan α D．2tan α
解析：原式＝
1＋sin α2
1－sin α1＋sin α
－
1－sin α2
1＋sin α1－sin α
＝ 1＋sin α
2
sin α2
cos2 α
－
1－cos2 α
＝
1＋sin α|cos α|－1－sin α
|cos α|
. 因为α是第三象限角，所以cos α＜0. 所以原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α.
答案：C
10．已知8sin θ＋cos θ
sin θ－3cos θ＝3，则sin θ·cos θ＝______.
解析：由8sin θ＋cos θ
sin θ－3cos θ
＝3，得tan θ＝－2，
)
sin θcos θ
∴sin θ·cos θ＝2
sinθ＋cos2 θ＝
－2tan θ2＝＝－.
5tan2 θ＋1－22＋1
2
答案：－
5
3tan α·cos3 α
11．若cos α＝－且tan α＞0，求的值．
51－sin αsin α
·cos3 αcos α
解：＝
1－sin α1－sin α
tan α·cos3 α
sin α·cos2 αsin α1－sin2 α
＝＝
1－sin α1－sin α＝
sin α1－sin α1＋sin α
＝sin α(1＋sin α)．
1－sin α
sin α3
＞0，cos α＝－＜0，∴sin α＜0. cos α5
由tan α＝
又sin2 α＋cos2 α＝1， 4
∴sin α＝－1－cos2 α＝－.
5
4?4?41－＝－. ∴原式＝sin α(1＋sin α)＝－·
5?5?25
2sin2 α＋2sin αcos α?π
12．已知＝k?0＜α＜2??.试用k表示sin α－cos α的值． 1＋tan α2sin2 α＋2sin αcos α解：
1＋tan α＝
2sin αsin α＋cos α
sin α1＋
cos α2sin αcos αsin α＋cos α
sin α＋cos α
＝
＝2sin αcos α＝k.
π
当0＜α＜时，sin α＜cos α，
4此时sin α－cos α＜0， ∴sin α－cos α＝－
sin α－cos α
2
＝－1－2sin αcos α＝－1－k.
ππ
当≤α＜时，sin α≥cos α， 42此时sin α－cos α≥0， ∴sin α－cos α＝
sin α－cos α
2
＝1－2sin αcos α＝1－k.
本节内容是由三角函数定义推导出的两个基本公式，即同角三角函数的基本关系式，是高考常考内容，常与其他知识相结合考查．
1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
2．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
3．学会利用方程思想解三角题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α，这三个式子，已知其中一个式子的值，其余两式的值可以求出．
高中数学人教版必修同角三角函数的基本关系作业(系列三)
