1.2.2同角三角函数的基本关系
考查知识点及角度 求值问题 化简证明问题 综合问题 难易度及题号 基础 2、3、4 1、5、6 中档 8、10 7、9 11
1.化简(1+tan2 α)·cos2 α等于( ) A.-1 C.1
2
稍难 12 B.0 D.2
sin α2 α=cos2 α+sin2 α=1. 1+2?·解析:原式=?cos?cos α?答案:C
2sin α-cos α2.若tan α=2,则的值为( )
sin α+2cos αA.0 C.1
2sin α-cos α2tan α-13解析:==. sin α+2cos αtan α+24答案:B
5
3.已知θ是第三象限角,且sin4θ +cos4 θ=,则sin θcos θ=( )
9A.-1C. 3
2 3
B.2 33B. 45D. 4
1D.- 3
解析:∵θ是第三象限角,∴sin θcos θ>0.又sin4 θ+cos4 θ=(sin2 θ+cos2 θ)2-2sin2 θcos2 522θ=1-2sin2 θcos2 θ=,∴sin2 θcos2 θ=.∴sin θcos θ=. 993
答案:B
4.已知tan α=3,α为第三象限角,则sin α=( ) 1
A. 2
1B.- 2
C.
3 2
D.-
3 2
sin α
解析:∵tan α==3,
cos α∴cos α=
3
sin α.又sin2 α+cos2 α=1, 3
33
∴sin α=±.又α为第三象限角,∴sin α=-.
22答案:D
11?+5.化简??sin αtan α?(1-cos α)的结果是________. 1cos α?
+解析:原式=??sin αsin α?(1-cos α) =
1+cos α
sin α
1-cos α
1-cos2 α
=
sin α
sin2 α==sin α. sin α答案:sin α
6.已知tan2 α=2tan2 β+1,求证:sin2 β=2sin2 α-1. 证明:因为tan2 α=2tan2 β+1, 所以tan2 α+1=2tan2 β+2. sin2 βsin2 α?所以2+1=2?cos2 β+1??. cos α12
所以2=2.
cos αcos β
所以1-sin2 β=2(1-sin2 α),即sin2 β=2sin2 α-1. 1-cos4 α-sin4α
7.化简:.
1-cos6 α-sin6 α解:方法一:原式 cos 2 α+sin2 α=
cos 2 α+sin2 α
2-cos 4 α-sin4 α3
-cos 6 α-sin6 α
2cos 2 α·sin2 α2
==.
33cos 2 α·sin2 αcos 2 α+sin2 α1-
方法二:原式=
1-
cos 4 α+sin4 α
cos 6 α+sin6 α
1-[cos 2 α+sin2 α2-2sin2 αcos 2 α]
= 1-cos 2 α+sin2 αcos 4 α-cos 2 αsin2 α+sin4 α
1-1+2cos 2 αsin2 α
= 1-[cos 2 α+sin2 α2-3cos 2 αsin2 α]2cos 2 αsin2 α2==. 3cos 2 αsin2 α3
1
8.若sin α+cos α=2,则tan α+tan α的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析:tan α+
1sin αcos α1tan α=cos α+sin α=sin αcos α
. 又sin α+cos α=2,∴sin αcos α=1
2.
∴tan α+1
tan α=2.
答案:B
9.已知α是第三象限角,化简 1+sin α
1-sin α
1-sin α
-
1+sin α
得(A.tan α B.-tan α C.-2tan α D.2tan α
解析:原式=
1+sin α2
1-sin α1+sin α
-
1-sin α2
1+sin α1-sin α
= 1+sin α
2
sin α2
cos2 α
-
1-cos2 α
=
1+sin α|cos α|-1-sin α
|cos α|
. 因为α是第三象限角,所以cos α<0. 所以原式=1+sin α-cos α-1-sin α-cos α=-2tan α.
答案:C
10.已知8sin θ+cos θ
sin θ-3cos θ=3,则sin θ·cos θ=______.
解析:由8sin θ+cos θ
sin θ-3cos θ
=3,得tan θ=-2,
)
sin θcos θ
∴sin θ·cos θ=2
sinθ+cos2 θ=
-2tan θ2==-.
5tan2 θ+1-22+1
2
答案:-
5
3tan α·cos3 α
11.若cos α=-且tan α>0,求的值.
51-sin αsin α
·cos3 αcos α
解:=
1-sin α1-sin α
tan α·cos3 α
sin α·cos2 αsin α1-sin2 α
==
1-sin α1-sin α=
sin α1-sin α1+sin α
=sin α(1+sin α).
1-sin α
sin α3
>0,cos α=-<0,∴sin α<0. cos α5
由tan α=
又sin2 α+cos2 α=1, 4
∴sin α=-1-cos2 α=-.
5
4?4?41-=-. ∴原式=sin α(1+sin α)=-·
5?5?25
2sin2 α+2sin αcos α?π
12.已知=k?0<α<2??.试用k表示sin α-cos α的值. 1+tan α2sin2 α+2sin αcos α解:
1+tan α=
2sin αsin α+cos α
sin α1+
cos α2sin αcos αsin α+cos α
sin α+cos α
=
=2sin αcos α=k.
π
当0<α<时,sin α<cos α,
4此时sin α-cos α<0, ∴sin α-cos α=-
sin α-cos α
2
=-1-2sin αcos α=-1-k.
ππ
当≤α<时,sin α≥cos α, 42此时sin α-cos α≥0, ∴sin α-cos α=
sin α-cos α
2
=1-2sin αcos α=1-k.
本节内容是由三角函数定义推导出的两个基本公式,即同角三角函数的基本关系式,是高考常考内容,常与其他知识相结合考查.
1.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
2.在进行三角函数式的求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
3.学会利用方程思想解三角题,对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α,这三个式子,已知其中一个式子的值,其余两式的值可以求出.
高中数学人教版必修同角三角函数的基本关系作业(系列三)
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