选修2-2 知识点及习题答案解析
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数y?f(x)在x我们称它为函数
?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0)，
?x?0?xy?f(x)在
x?x0处的导数，记作
f?(x0)或
y?|x?x0，即
f?(x0)=lim2.
?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是k?f(xn)?f(x0)，当点Pn趋近于P时，函数
nxn?x0k，即k?limf(xn)?f(x0)?f?(x)
0?x?0y?f(x)在x?x0处的导数就是切线PT的斜率
xn?x03. 导函数：当x变化时，
也记作
f?(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.
y?f(x)的导函数有时
y?,即
f(x??x)?f(x)
?xf?(x)?lim?x?0二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若f(x)?c(c为常数)，则f?(x)?0； 2 若f(x)?x?,则f?(x)??x3 若f(x)?sinx,则5 若7 若
??1;
f?(x)?cosx 4 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx;
f(x)?ax,则f?(x)?axlna 6 若f(x)?ex,则f?(x)?ex
x,则f?(x)?f(x)?loga1 8 若
f(x)?lnx,则f?(x)?1
xlnax 2.
导数的运算法则
1. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)
f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)3. [ ]??2g(x)[g(x)]复合函数求导 y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数
y??f?(g(x))?g?(x) 三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(a,b)内
(1)如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增；(2)如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y?f(x)的极值的方法是:（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值（2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y?f(x)在(a,b)内的极值； （2） 将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同
或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越
可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时
命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且n?N)结论都成立。 考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如a?bi(a?R,b?R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数a?bi(a?R,b?R)中,当b?0,就是实数;
b?0,叫做虚数;当a?0,b?0时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)则 （1）z1?z2?(a?c)?(b?d)i （2）
z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i （3）
z1(ac?bd)?(ad?bc)i?(z2?0) 22z2c?d2,几个重要的结论
(1) |z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2) (2) z?z?|z|2?|z|2 (3)若z为虚数,则
|z|2?z2
3.运算律 (1)
zm?zn?zm?n;(2) (zm)n?zmn;(3)(z1?z2)n?z1n?z2n(m,n?R)
（1）i24.关于虚数单位i的一些固定结论：
??1 （2）i3??i （3）i4?1 （2）in?in?2?in?3?in?4?0
练习一组
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx( ) A．大于零 C．等于零 [答案] D
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx [答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3 C．2.09 [答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
f(－0.9)－f(－1)－1.71－(－2)
∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.
0.1－0.9－(－1)
B．0.29 D．2.9
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
B．小于零 D．不等于零
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( ) A．2 C．2.09 [答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
f(1.3)－f(1)5.69－5
∴kAB＝＝＝2.3，故应选B.
0.31.3－1
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( ) A．2－Δx C．2＋Δx [答案] B
[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0， ∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx) ＝－2Δx－(Δx)2， ∴
f(2＋Δx)－f(2)
＝－2－Δx，故应选B.
2＋Δx－2
B．－2－Δx D．(Δx)2－2·Δx
B．2.3 D．2.1
Δy
6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
ΔxA．2
B．2x D．2＋(Δx)2
C．2＋Δx [答案] C [解析]
Δyf(1＋Δx)－f(1)＝ ΔxΔx
[(1＋Δx)2＋1]－2
＝＝2＋Δx.故应选C.
Δx
7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A．6.3 C．3.3 [答案] A
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
S(3.3)－S(3)1.89
∴平均速度v＝＝＝6.3，故应选A.
0.33.3－3
1
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均x变化率最大的是( )
A．④
B．③
B．36.3 D．9.3
C．② [答案] B
D．①
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；1110④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
x131＋Δx
9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0
Δt
B. s(t0＋Δt)－s(t0)s(t)D. t
s(t0＋Δt)－s(t0)C.
Δt[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
11
1，?，Q是曲线上点P附近的一点，则点10．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P??4?4Q的坐标为( )
1
1＋Δx，(Δx)2? A.?4??1
1＋Δx，(Δx＋1)2? C.?4??[答案] C
1
[解析] 点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2，故应选C.
4二、填空题
Δy
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
Δx[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
33
Δy(2＋Δx)－2－(2－2)
[解析] ＝
ΔxΔx
1
Δx，(Δx)2? B.?4??1
Δx，(1＋Δx)2? D.?4??
(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx
＝
Δx＝(Δx)2＋6Δx＋12.
11
12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
4x2
[答案] － 9
高中数学选修22全套知识点及练习答案解析
