选修2-2 知识点及习题答案解析
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:
瞬时速率。一般的,函数y?f(x)在x我们称它为函数
?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0),
?x?0?xy?f(x)在
x?x0处的导数,记作
f?(x0)或
y?|x?x0,即
f?(x0)=lim2.
?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x导数的几何意义:
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时,直线PT与曲线相切。容易知道,割线PPn的斜率是k?f(xn)?f(x0),当点Pn趋近于P时,函数
nxn?x0k,即k?limf(xn)?f(x0)?f?(x)
0?x?0y?f(x)在x?x0处的导数就是切线PT的斜率
xn?x03. 导函数:当x变化时,
也记作
f?(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数.
y?f(x)的导函数有时
y?,即
f(x??x)?f(x)
?xf?(x)?lim?x?0二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若f(x)?c(c为常数),则f?(x)?0; 2 若f(x)?x?,则f?(x)??x3 若f(x)?sinx,则5 若7 若
??1;
f?(x)?cosx 4 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx;
f(x)?ax,则f?(x)?axlna 6 若f(x)?ex,则f?(x)?ex
x,则f?(x)?f(x)?loga1 8 若
f(x)?lnx,则f?(x)?1
xlnax 2.
导数的运算法则
1. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)
f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)3. [ ]??2g(x)[g(x)]复合函数求导 y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数
y??f?(g(x))?g?(x) 三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内
(1)如果f?(x)?0,那么函数y?f(x)在这个区间单调递增;(2)如果f?(x)?0,那么函数y?f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y?f(x)的极值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数y?f(x)在(a,b)内的极值; (2) 将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是一个最大值,最小的
是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同
或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越
可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时
命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且n?N)结论都成立。 考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如a?bi(a?R,b?R)的数叫做复数,a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数a?bi(a?R,b?R)中,当b?0,就是实数;
b?0,叫做虚数;当a?0,b?0时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)则 (1)z1?z2?(a?c)?(b?d)i (2)
z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i (3)
z1(ac?bd)?(ad?bc)i?(z2?0) 22z2c?d2,几个重要的结论
(1) |z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2) (2) z?z?|z|2?|z|2 (3)若z为虚数,则
|z|2?z2
3.运算律 (1)
zm?zn?zm?n;(2) (zm)n?zmn;(3)(z1?z2)n?z1n?z2n(m,n?R)
(1)i24.关于虚数单位i的一些固定结论:
??1 (2)i3??i (3)i4?1 (2)in?in?2?in?3?in?4?0
练习一组
一、选择题
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx( ) A.大于零 C.等于零 [答案] D
[解析] Δx可正,可负,但不为0,故应选D.
2.设函数y=f(x),当自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数的改变量Δy为( ) A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx [答案] D
[解析] 由定义,函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D. 3.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( ) A.3 C.2.09 [答案] D
[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2. f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.
f(-0.9)-f(-1)-1.71-(-2)
∴平均变化率为==2.9,故应选D.
0.1-0.9-(-1)
B.0.29 D.2.9
B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
B.小于零 D.不等于零
4.已知函数f(x)=x2+4上两点A,B,xA=1,xB=1.3,则直线AB的斜率为( ) A.2 C.2.09 [答案] B
[解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69.
f(1.3)-f(1)5.69-5
∴kAB===2.3,故应选B.
0.31.3-1
5.已知函数f(x)=-x2+2x,函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为( ) A.2-Δx C.2+Δx [答案] B
[解析] ∵f(2)=-22+2×2=0, ∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx) =-2Δx-(Δx)2, ∴
f(2+Δx)-f(2)
=-2-Δx,故应选B.
2+Δx-2
B.-2-Δx D.(Δx)2-2·Δx
B.2.3 D.2.1
Δy
6.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则等于( )
ΔxA.2
B.2x D.2+(Δx)2
C.2+Δx [答案] C [解析]
Δyf(1+Δx)-f(1)= ΔxΔx
[(1+Δx)2+1]-2
==2+Δx.故应选C.
Δx
7.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为( ) A.6.3 C.3.3 [答案] A
[解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89,
S(3.3)-S(3)1.89
∴平均速度v===6.3,故应选A.
0.33.3-3
1
8.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=中,平均x变化率最大的是( )
A.④
B.③
B.36.3 D.9.3
C.② [答案] B
D.①
[解析] Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;1110④y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.∴k3>k2>k1>k4,故应选B.
x131+Δx
9.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是( )
A.v0
Δt
B. s(t0+Δt)-s(t0)s(t)D. t
s(t0+Δt)-s(t0)C.
Δt[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确,故应选C.
11
1,?,Q是曲线上点P附近的一点,则点10.已知曲线y=x2和这条曲线上的一点P??4?4Q的坐标为( )
1
1+Δx,(Δx)2? A.?4??1
1+Δx,(Δx+1)2? C.?4??[答案] C
1
[解析] 点Q的横坐标应为1+Δx,所以其纵坐标为f(1+Δx)=(Δx+1)2,故应选C.
4二、填空题
Δy
11.已知函数y=x3-2,当x=2时,=________.
Δx[答案] (Δx)2+6Δx+12
33
Δy(2+Δx)-2-(2-2)
[解析] =
ΔxΔx
1
Δx,(Δx)2? B.?4??1
Δx,(1+Δx)2? D.?4??
(Δx)3+6(Δx)2+12Δx
=
Δx=(Δx)2+6Δx+12.
11
12.在x=2附近,Δx=时,函数y=的平均变化率为________.
4x2
[答案] - 9
高中数学选修22全套知识点及练习答案解析
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