高职高专高等数学教案

第 1 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §1 函数 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法； 2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。 教学方法、手段： 讲授法，师生互动，板书，课件展示 教学重点、难点： 重点、定义域的求解；函数的几种特性； 难点、定义域的求解；奇偶性的判断。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 （5分钟） （10分钟） （10分钟） （10分钟） 一、新教程序言 为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 二、讲授新课 利用现实生活中的一个实例（匀速运动），引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。顺利引出函数。 1、函数的定义（课件展示） 说明：函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下： y?f(x),x?D (1)定义域：自变量的取值集合（D）。 (2)值域：函数值的集合，即y0?yx?x?f(x0)。 02、函数的二要素（板书） 构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。 如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。（熟记） 注意：为了使定义域在数学上有意义，要求， （１）分母不能为０。如f(x)?1时 xx时 - 1 - / 69

（２）偶次根号下非负。如f(x)?（３）对数的真数大于０。如f(x)?ln （４）正切符号下的式子不等于k???2,k?Z。 x（５）余切符号下的式子不等于k?,k?Z。 （６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。 1例1求函数y?的定义域。 2x?4例2确定函数f(x)?3?2x?x2?ln(x?2)的定义域。 说明：根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。 3、函数的表示方法 通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。 4、分段函数 分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。 注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。 点评：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识 5、 函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助） 函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。 讲解思路：（1）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解； （2）通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法 （3）给出一些函数，提问学生函数是否有界。 三、例题分析 例1 y?sinx的定义域为(??,??)，值域为[?1,1]。 例2 y?1?x的定义域为[?1,??)，值域为[0,??)。 ?1,x?0?例3 设f(x)??0,x?0，求f(2)，f(0)和f(?2)。 ??1,x?0?解 f(2)?1，f(0)?0，f(?2)??1。 注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。 四、课堂小结 1. 函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则； 2. 函数的特性：有界性，单调性，奇偶性， 周期性； 师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。 - 2 - / 69

（10分钟） （10分钟） （10分钟） （15分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 思考题： 1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 2、两个函数相同的条件有那些？[定义域、对应法则都相同时两函数相同] 2、思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 作业题： P22、1（1,3）；2（1,3）；3（1,3） 课后总结分析：

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第 2 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章、函数与极限 §2初等函数、数列的极限 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数； 2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。 教学方法、手段： 以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。 教学重点、难点： 重点：复合函数；数列的极限； 难点：复合函数的判断；数列极限的求解； 教学内容及过程设计 一、知识回顾（板书） 补充内容和时间分配 （10分钟） 采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。 二、讲授新课 （15分钟） 1.基本初等函数（课件展示，板书辅助） 熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。 板书：结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。 （15分钟） 2.复合函数（板书给出） 说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：y ??ln u，u ??? x2就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 强调：在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。 板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。 复合函数反映了事物联系的复杂性。 (10分钟) 3.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学 式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。 说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但y ??︱x︱ 是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算 4. 数列的概念 （课件展示） （10分钟） 板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。 5.数列的极限（课件展示） 根据下面的一个例子引出数列极限的概念。 （15分钟） 半径r的圆内接正多边形面积Sn?f(n)，n为正多边形的边数，当n越来越大时，Sn就 越来越接近圆的面积，当n无限增大时，Sn就无限接近圆的面积。这时，我们说Sn以圆的 面积为极限。 - 4 - / 69 限的概念去解题。 1例如：当n??时，yn?n收敛于0； 2 1当n??时，yn?1?收敛于1； n 当n??时，yn?n无极限，发散； n1?(?1)当n??时，yn?时而取0，时而取1，震荡无极限，因而也是发散的。 2 注意：数列极限的收敛性。 三、课堂演练 例1、分解下列复合函数； sinx（10分钟） （1）y?x2?1 （2）y?e 例2、求下列数列的极限并说明其收敛性； 111 1,,,LLLL; 1,?1,LL,(?1)n?1,LL; 23n n?1 n???1?14 2,4,6,LL,2n,LL; 2,,,LL,,LL; 23n 1n?(?1)n?1n?1 其通项分别为,(?1),2n,。 nn 四、课堂小结 1、初等函数的结构：由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成； 2、数列极限： 直观描述，精确定义，几何意义 3、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的 （5分钟） 通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极思考题、作业题、讨论题： 思考题： 举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？ 作业题： P22: 4；6； 课后总结分析：

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第 3 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §3 数列的左右极限 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限； 2、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。 教学方法、手段： 讲授法，板书、课件展示。 教学重点、难点： 重点：函数的极限及函数极限的求法； 难点：左极限与右极限。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 （10分钟） （5分钟） （20分钟） （10分钟） 一、复习基本知识——数列极限 1、数列的概念； 2、数列极限的概念； 二、讲授新课 引例：函数f(x)?1的图形。 x老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的认识，最后给出极限的定义。 1、当x??时，函数f(x)的极限（课件展示） （1）函数f(x)当x趋向于无穷（记为x??）时的极限，记为 x??（熟记） limf(x)?A 或 当x??时，f(x)?A。（2）函数f(x)当x趋向于正无穷（记为x???）时的极限，记为 x???（熟记） limf(x)?A 或 当x???时，f(x)?A。（3）函数f(x)当x趋向于负无穷（记为x???）时的极限，记为 x???（熟记） limf(x)?A 或 当x???时，f(x)?A。x??（结论） limf(x)?A的充分必要条件是limf(x)?A且limf(x)?A。x???x???注：x?0,x无限增大时，函数值f(x)?1无限接近于0； x1无限接近于0。 xx?0,x无限减小时，函数值f(x)?2、当x?x0时，函数f(x)的极限 函数f(x)当x趋向于x0时的极限，记作 - 6 - / 69

x?x0limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)（熟记） 3、函数左右极限的概念 函数f(x)当x?x0时的左极限，记为lim?f(x)?A； x?x0函数f(x)当x?x0时的右极限，记为lim?f(x)?A； x?x0注：左右极限统称为函数f(x)的单侧极限。 函数f(x)的极限与左、右极限有以下关系： x?x0limf(x)?A的充分必要条件是limf(x)?limf(x)?A。 ?x?x0?x?x0注：我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情况。 三、课堂演练 例1：求下列函数的极限 3x2?2112（1）lim3； （2）lim(?3)； x??x?x?5x??2x?2x?8x2x?4（3）lim； （4）lim； 2x?0x?4x?3?11?1?x?x?1,???x?0;?例2：试求函数f(x)??x2,0?x?1; 在x?0和x?1处的极限。 ?1,x?1。?四、课堂小结（师生互动） 1、函数的概念：趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于某一点的极限概念； 2、函数的左右极限。 3、极限是函数的一个局部性质。 （15分钟） （20分钟） （10分钟） - 7 - / 69

思考题、作业题、讨论题： 思考题： 1、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？ 作业题： P22 1.7 (1)-(10), 1.8. 课后总结分析：

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第 4 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §4 极限的性质极限的运算 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论； 2、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：会利用函数极限的运算法则求函数的极限； 难点： 函数的极限的运算法则。 教学内容及过程设计 一、复习基础知识——函数的极限（课件展示） 1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记） 2、函数的左右极限。（理解） 二、讲授新课 1、极限的性质 在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：邻域和去心邻域。（了解） 开区间?x0??,x0???称为点x0的邻域； 开区间?x0??,x0?U?x0,x0???称为点x0的去心邻域，其中??0。 极限的性质：（了解） （1）惟一性；（2）有界性； （3）局部保号性；局部保号性的推论；（4）夹逼准则。 根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对函数的极限有更进一步的认识和理解。 2、极限的运算（熟记） （1）极限的可加（减）性； （2）极限的可乘性； （3）极限的可除性。 老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。 推论1 常数可以提到极限号前，即limCf(x)?Climf(x)?CA。 推论2 若m为正整数，则lim?f(x)??[limf(x)]m?Am。 m补充内容和时间分配 （10分钟） （20分钟） （20分钟） 5分钟学生消化以上所讲的知识。 注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。 - 9 - / 69 三、课堂演练 例1：求下列函数的极限 （1）limx2?4x?4x2?4x?2(x?h)2?x2； （2）lim； h?0hx2?32x3?3x2?1（3）lim； （4）lim3； x??5x?3x2?2x?1x?2例2：求下列函数的极限 （1） lim(x?8x?7)。 x?12（2） lim x2?3x?2x2?x?2x?2。 四、课堂小结（提问的方式） 1、极限的性质：惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则； 2、极限的运算法则：可加（减）性，可乘性，可除性。 思考题、作业题、讨论题： 思考题： （25分钟） （10分钟） 在某个过程中，若 f(x) 有极限、g(x)无极限，那么 f(x)+g(x) 是否有极限？为什么？ f(x) -g(x) 是否有极限？ 作业题： 求下列各极限： ?1?x?1?2x3?x2?5?41???； ?（1）lim2；（2）lim?；（3）?lim???x??x?3x?1x?2?x2?4x?2?xx?0???1?x?3x33x2?2x?1（4）lim；（5）lim3。 x??1?x2?4x3x??x?x2?2 课后总结分析：

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第 5 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §5 无穷小量与无穷大量 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质； 2、掌握无穷小量与无穷大量的关系。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：无穷小量与无穷大量的概念及它们的关系； 难点：无穷小量与无穷大量的关系。 教学内容及过程设计 一、复习基础知识——极限的性质及运算 1、极限的性质 2、极限的运算 二、新课引入 给出一个函数f(x)?1的图形，生动形象地讲解此函数的极限是趋向于0的，通过讲x补充内容和时间分配 （10分钟） （25分钟） （15分钟） 解引发学生们的思考，引出无穷小量。 三、讲授新课 1、无穷小量 x?x0limf(x)?0为无穷小量；（理解） 例如：因为limx2?0，limsinx?0，所以x2，sinx均是当x?0时的无穷小。 x?0x?0因为lim(x?1)?0,limx2?1?0,所以x?1,x2?1均为当x?1时的无穷小。 x?1x?1??因为lim1111均为当x??时的无穷小。 ?0,所以,?0，limx??x?1xx?1x??x注意：（1）确定f(x)是无穷小，需指出x的变化趋势； （2）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身并不是零。 （3）常数中只有零是无穷小，因为它的极限为零。 1例如 f(x)?是当x??是的无穷小；而当x趋于常数时，不再是无穷小。 x?12、无穷小量的性质（理解） （1）无穷小的可加性； （2）无穷小的可积性； - 11 - / 69

（4）常数与无穷小的可积性。 老师利用板书通过例题以上面的性质一一进行讲解。 （25分钟） 3、无穷大量（课件展示） limf(x)??。（无穷大量） x?x0 11 例如，是当x?0时的无穷大，记作lim??； xx?0x 11 是当x?1时的无穷大，记作lim??； x?1x?1x?1 ex是当x???时的无穷大，记作limex???； x??? lnx是当x?0?时的无穷大，记作limlnx???。 x?0? 老师采用提问的方式对以上的例子进行了讲解，并得出以下注意项。 注意：（1）无穷大不是一个很大的数，它是一个绝对值无限增大的变量。 1（2）确定函数f(x)是无穷大，需指出自变量x的变化趋势，例如函数f(x)? x5分钟学生消当x?0时是无穷大；当x??时，是无穷小。 化以上所讲（3）无穷大必为无界函数；反之无界函数不一定为无穷大。例如：当x??时，的知识。 f(x)?xsinx是无界函数，但不是无穷大量。 （4）无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极限的符号，但并不表示极限 （10分钟） 存在。 （3）有界函数与无穷小的可积性； 四、课堂小结（师生互动） 1、无穷小的概念； 2、无穷小的性质； 3、无穷大量的概念。 思考题、作业题、讨论题： 思考题： 1、怎样利用无穷小进行等价替换？ - 12 - / 69

课后总结分析：

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第 6 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §6两个重要极限 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、了解无论穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量与无穷大量的比较方法； 2、正确理解函数的两个重要极限，并会用两个重要极限求函数的极限。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：无穷小量与无穷大量的比较方法，函数的两个重要极限； 难点：无穷小量与无穷大量的比较方法，运用函数的两个重要极限。 教学内容及过程设计 一、复习基本知识——无穷小与无穷大（课件展示） 补充内容和时间分配 （10分钟） 1、无穷小量的概念； 2、无穷小量的性质； 3、无穷大量的概念。 二、讲授新课 1、无穷小量与无穷大量的关系（作图说明） 结论：在自变量的同一变化过程中（注意：在极限符号中省略了自变量的变化趋势），（15分钟） 11设f(x)?0，若limf(x)??，则lim?0，反之，若limf(x)?0，则lim??。 f(x)f(x)老师利用板书通过例题对上述结论做进一步的讲解，使学生对无穷小与无穷大的关系 有进一步的理解。 2、无穷小量与无穷大量的比较 （15分钟） 结论：（1）高阶无穷小； （2）低阶无穷小； （3）同阶无穷小； 通过给出的例题对无穷小与无穷大的比较仔细讲解，使学生正确理解并会利用。 ?(x)?(x) 定理：如果当x?x0时，?(x)~?(x)，?(x)~?(x)，且lim存在，则lim x?x0?(x)x?x0?(x) ?(x)?(x)?lim也存在，且lim。 x?x0?(x)x?x0?(x) 说明：求两个无穷小之比时，分子、分母均可用等价无穷小替代。 注意：常见的等价无穷小，当x?0时，有 1sinx~x，tanx~x，1?cosx~x2，ex?1~x，ln(1?x)~x等。 5分钟学生消2化以上所讲强调：等价无穷小中的x，可用含有x的表达式代替。 的知识。 - 14 - / 69

3、两个重要极限（列表说明） （熟记） sinx（1）lim?1 x?0x?1?（2）lim?1???e x?x???x三、课堂演练 例1 求lim1。 x?1x?1例2 利用等价无穷小代换定理求下列函数的极限： （1）limtanx?sinxsin4x；（2）lim。 x?0tan2xx?0x2sinxsin7x。 x?0x1?cosx例4 计算 lim。 2x?0x例3 计算 lim4??例5 计算 lim?1??。 5x?x???x?x?1? 例6 计算lim??x???x?2?(x?2)。 四、课堂小结（提问回答） 1、无穷小与无穷大的关系； 2、无穷小与无穷大的比较； 3、两个重要极限。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： 1、 求下列函数的极限。 （15分钟） （20分钟） （10分钟） ln?1?x2?1?cosxarcsin2xlimlim（1）lim；（2）；（3）。 x?0e2x?1sinxx?0sin2xx?0x2?2x??2、计算下列函数的极限。 （1） lim 课后总结分析：

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1x?xtan3x?cotx；（2）lim?1??；（3）lim?1?3tanx?。 2x?0x?0?x?04x?第 7次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §7函数的连续性 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、了解增量的概念，熟练掌握函数的连续性； 2、正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：函数的连续性以及它的左右连续性； 难点：函数的连续性以及函数的左右连续性。 教学内容及过程设计 一、复习基础知识——无穷小与无穷大的关系及比较 1、无穷小与无穷大的关系； 2、无穷小量与无穷大量的比较； 3、两个重要极限。 二、导入新课 通过对给出的两个函数的图象（一个是间断的，一个是不间断的）进行的讲解，引出函数增量的概念，从而也引出了函数的连续性。 三、讲授新课 1、增量的概念（课件展示） 注意：增量?u可正可负。当?u?0时，说明变量u从数值u1变到数值u2是增加的；当?u?0时，说明变量u从数值u1变到数值u2是减少的。称 ?y?f(x0??x)?f(x0) 补充内容和时间分配 （10分钟） （5分钟） （10分钟） （15分钟） 为函数f(x)的增量。 2、函数连续性的概念（课件展示，板书辅助） 定义1：若lim?y?0，则称函数y?f(x)在点x0处连续，并且称点x0为函数y?f(x)?x?0的连续点。 定义2：若limf(x)?f(x0)，则称函数y?f(x)在x0处连续。 x?x0根据定义2的内容，函数f(x)在点x0连续，需满足如下条件：（重点且熟记） ①f(x)在点x0及附近有定义； ②limf(x)存在；在 x?x0③limf(x)?f(x0)。 x?x0 利用板书给出例题，老师通过例题讲解函数的连续性，使学生们正确掌握函数的连- 16 - / 69

3、函数的左右连续性 （15分钟） 若lim?f(x)?f(x0)（或lim?f(x)?f(x0)）， x?x0x?x0 则称函数y?f(x)在点x0处左连续（或右连续）。即 limf(x)?limf(x)?f(x0)。 x?x0?x?x0? 说明：如果函数f(x)在某一区间上每一点都连续，则称f(x)在该区间上连续，或者说 f(x)是该区间上的连续函数。 注：连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。 5分钟学生消关于函数的连续性有下面三点结论： 化以上所讲（1）基本初等函数在它们的定义区间内，都是连续的； 的知识。 （2）连续函数的和、差、积、商（分母不能为0）在它的定义区间内，是连续函数； （3）由连续函数复合而成的函数，在它的定义区间内是连续函数。 三、课堂演练 （20分钟） x?0?x?2例1 讨论函数y?? 在x?0的连续性。 x?2x?0? 例2 求lim(2x?1)； x?1 例3 求limsinx； x?0 2 x2?x0例4 求lim。 x?x0x?x0 四、课堂小结（师生互动） （10分钟） 续性，并且会利用函数连续性的定义求解函数的连续性。 1、函数增量的概念； 2、函数连续性的概念； 3、函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性函数在某一点是否连续。 思考题、作业题、讨论题： 思考题： 1、满足函数连续的条件？ 课后总结分析： - 17 - / 69

第 8 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §8本章小结 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□ 教学目的： 1、带领学生复习本章所学的知识中，巩固学生对本章知识的理解和运用。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：本章所学的知识点； 难点：会运用本章所学的知识点。 教学内容及过程设计 一、基本概念 1、函数的定义； 2、基本初等函数； 3、复合函数； 4、初等函数； 5、数列的极限； 6、函数的极限； 7、函数的左右极限； 8、函数的连续性； 9、函数的左右连续性。 二、基本性质和方法 1、函数的二要素：定义域，对应法则；（判断两个函数的相等性） 2、函数的四种特性 3、函数极限的性质； 4、无穷小量与无穷大量的关系； 5、无穷小的比较； 6、函数极限的运算； 7、两个重要极限。 三、例题讲解 例1求函数y?12x?4补充内容和时间分配 （20分钟） （20分钟） （25分钟） 的定义域。 例2、将下列复合函数进行分解。 （1）y?sinx；（2）y?cosx。 ?x?1,???x?0;?例3 试求函数f(x)??x2,0?x?1; 在x?0和x?1处的极限。 ?1,x?1。?22- 18 - / 69

例4 求lim(x?8x?7)。 x?12例5 求lim4x2?3x?1?6x?4x??12x2。 例6 计算 limtan3x。 x?04x1x?x?例7 计算lim?1??。 2?x?0?四、课堂演练 例1 确定函数f(x)?3?2x?x2?ln(x?2)的定义域。 例2 求函数y?u与u?1?x2的复合函数。 ?1,x?0?例3 设f(x)??0,x?0，求f(2)，f(0)和f(?2)。 ??1,x?0? （25分钟） 例4 求下列各极限： 1?x?3x33x2?2x?12x3?x2?5（1）lim；（2）lim3；（3）lim2。 x??1?x2?4x3x??x?x2?2x??x?3x?1（4）lim??x?2?4??x2?4?1?x?1?1?cosx1???。；（5）（6） lim。 ?lim??2x?2?xx?0?x?0x???x?1? （7）lim??x???x?2?(x?2)。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P22-P23 1.1, 1.2(1)-(2), 1.7 (1)-(6), 1.8. 课后总结分析：

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第 9 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §1导数的概念 理论√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解导数、左右导数的概念； 2、掌握通过左右导数的方法求函数的导数。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：导数的概念； 难点：会利用左右导数求函数在某一点的导数。 教学内容及过程设计 一、引入新课 引入匀变速运动的例子（课件展示）。 提问：路程s和时间t之间的函数关系，在数学中该如何描述。 小结：实质上就是路程在某一时刻的变化率，即函数增量与自变增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。 总结解决此例题的步骤如下： （1）求增量： （2）定比值： （3）取极限： 强调：上述步骤是函数求导的基本方法，需要学生掌握。 二、讲授新课 1、导数的概念 通过以上对讲解，给出导数的概念。 注意： （1）导数的常见形式还有：f?(x0)?lim补充内容和时间分配 （15分钟） （20分钟） ?x?0f(x0??x)?f(x0)； ?x f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)； hf(x0)?f(x0?h)； （h即自变量的增量h f?(x0)?limh?0?x） （2）?ydy反映的是曲线在[x0,x]上的平均变化率，而f?(x)??xdx- 20 - / 69

x?x0是在点x0的变化率，它反映了函数y?f(x)随x?x0而变化的快慢程度。 （3） 这里dydxx?x0与dfdxx?x0中的dydf与是一个整体记号，而不能视为分子dy或dxdxdf与分母dx。 （4）若极限lim特别地， 如果函数f(x)在开区间D内的每一点x处都可导，就称函数f(x)在开区间D内可导，其导数一般是x的函数，这个函数称为原来函数y?f(x)的导函数，简称导数，记为y?、f?(x)、df(x)dy或。 dxdxf(x??x)?f(x) ?x?x?0f(x)?f(x0)?y即lim不存在，就称y?f(x)在x?x0点不可导。?x?0?xx?x0x?x0 如果将上面式子中的x0换成x，即得到导函数的定义式为 f?(x)?lim或 f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x) h说明： （1）上式中，虽然x可以取开区间D内的任何数值，但在求极限的过程中，x被当作常量，?x或h是变量。 （2）在没有特别说明的情况下，导数指的是导函数。如果给出了具体的点，导数指的是该点的导数值。 显然，函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)就是导函数f?(x)在点x?x0处的函数值，即 f?(x0)?f?(x)x?x。 0以后，如果求函数f(x)在点x0处的导数，就用先求导函数f?(x)，再将点x?x0代入f?(x)。 2、左右导数的概念 从导数的定义中可知，函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)是一个极限。 提问：函数的连续有左连续和右连续，那么函数的导数的左导数和右导数吗？ 结论： ?(x0)及把相应的左、右极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数和右导数，记做f??(x0)，即 f??(x0)?limf???x?0f(x0??x)?f(x0) （2-6） ?xf(x0??x)?f(x0) （2-7） ?x?(x0)?limf???x?0说明：函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处的左导数和右导数都存在且相等。 - 21 - / 69

（10分钟） （20分钟） 这里需要强调的是函数的左右导数是用来判断函数在某一点是否可导的。 三、课堂演练 练习题： 1、 根据导数的定义，求常值函数f(x)?C（C是常数）的导数f?(x)。 2、 根据导数定义，求函数f(x)?x2在x?2处的导数f?(2)。 x?1?x3、 讨论函数f(x)??在x?1处的可导性。 x?1x?1?四、课堂小结 本次课程的内容有：导数的定义；导数的几种不同的表达形式；左、右导数； （15分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： 必做题：P55 2.1, 2.2. 课后总结分析：

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第 10 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §2 按定义求导 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、掌握通过导数的几何意义求函数在某一点的切线法线方程； 2、掌握导数的定义求导法则，熟练掌握导数的四则运算法则。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：导数的定义求导，导数的四则运算； 难点：利用导数的几何意义求函数在某一点的切线法线方程。 教学内容及过程设计 一、课前复习 补充内容和时间分配 由于本次所讲的内容是上次课程内容的延伸，上次内容的掌握程度影响到本次课程的（10分钟） 讲授，以提问的形式考察学生对于导数概念的理解以及导数定义公式的掌握。 二、讲授新课 1、导数的几何意义 引入实例，切线问题的求解，侧面讲解导数的几何意义。（课件展示） （20分钟） 由切线问题的讨论和导数的定义知，函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)在几何上表 示曲线y?f(x)在点M0(x0,y0)处的切线的斜率。 过切点M0(x0,y0)且垂直于切线的直线叫做曲线y?f(x)在点M0(x0,y0)处的法线。 如果f?(x0)存在，则曲线y?f(x)在M0(x0,y0)处的切线方程为 y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)； 曲线y?f(x)在点M0(x0,y0)处的法线方程为 1 y?f(x0)??(x?x0) ，(f?(x0)?0)。 f?(x0) 注意：当f?(x0)=0时，切线方程为平行于x轴的直线y?f(x0)，法线方程为垂直于x 轴的直线x?x0；当f?(x0)??时，切线为垂直于x轴的直线x?x0，法线为平行于x轴的 直线y?f(x0)。 2、按定义求导数 （15分钟） 在上节课我们学习了导数的概念，那么谁知道按照定义怎样求函数的导数呀？ 学生们相互讨论，老师启发学生们思考，最后给出正确的结论。 ?求y?f(x)的导数y的一般步骤如下： （1）求增量：?y?f?x??x??f?x?； （2）算比值； ?y（3）取极限lim。 ?x?0?x 说明：按定义求导数是这节课的重点，需要学生们会运用“三步骤”。 - 23 - / 69 （1）设u?u(x)和v?v(x)都在点x处可导，则u?v也在x处可导，且(u?v)??u??v?。 （15分钟） x（2）设u?u(x)和 v?v(x)都在点处可导，则u?v也在x处可导，且(u?v)??u?v?uv?。 推论：(cu)??cu?（c为常数）。 注意：以上两个法则可推广到有限个函数的情形。 u（3）设u?u(x)和 v?v(x)都在点x处可导，v(x)?0,则也在点x处可导，且 v ? ?u?u?v?uv?。 ??? ?v?v2 ??? v??u?u?1????注：????2；?uv??u?v?,???。 v?v??v?v? 三、课堂演练 练习题： （20分钟） 1、 求抛物线y?x2在点(1,1)处的切线方程和法线方程。 2、 求函数y?logax(a?0且a?1)的导数。 3、 求y?xn(n?N)的导数。 4、 求下列函数的导数。 1 (1)y?2x2?ln2； (2)y??sinx?x； x 1ex(3) y?tanx； (4)y?； (5)y?。 2lnx1?x 点评：练习的目的是为了加深学生对于本次课程知识的理解，加强学生对于知识点的 解题应用。 四、课堂小结 本节课的内容有：导数的几何意义；按定义求导数；导数的四则运算法则。 （10分钟） 3、导数的四则运算法则 思考题、作业题、讨论题： 作业布置： 必做题：P55: 2.3, 2.4, 选做题：P55: 2.5 (4)-(8). - 24 - / 69

课后总结分析：

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第 11 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §3 复合函数、隐函数的求导 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、掌握利用复合函数的求导法则求函数的导数； 2、正确理解隐函数的定义，掌握隐函数的求导法则。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：复合函数的求导法则； 难点：利用隐函数的求导法则求函数的导数。 教学内容及过程设计 一、课前复习 提问的形式复习复合函数的概念及复合函数的分解方法，以此考察学生对复合函数所学知识点的掌握程度。 设计意图：看学生对复合函数的理解程度，加以总结分析，为复合函数的求导法则做铺垫。 二、讲授新课 1、复合函数求导法则 复合函数的求导法则：设u??(x)在x可导，函数y?f(u)在相应的点u可导，则复合dydydu??函数y?f??(x)?在x处也可导，且?f??(x)????f?(u)???(x)或。 dxdudx补充内容和时间分配 （10分钟） （15分钟） （20分钟） （20分钟） 说明：应用复合函数求导时，首先要分析由哪些函数复合而成，如果所给函数能分解成比较简单的函数，而这些函数的导数易求，那么应用复合函数的求导法则就可以求出所给函数的导数。 注意：区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 设计意图：通过讲练结合，让同学们有一个理解求导法则的过程。 2、隐函数的定义 课件展示：隐函数的定义。 板书：给出几个函数，让学生们判断哪些函数是显函数哪些是隐函数。 说明： 有些隐函数可以变换为显函数，例如2x?2y?5?0，可化为y??x?数则很难化为显函数，如sin(x?y)?ey。 说明：要想直接计算隐函数的导数，需要找出隐函数求导的方法。 下面就讲解隐患函数的求导法则。 3、隐函数的求导法则 通过以上学生们对显函数及隐函数定义的学习，对它们的形式已经基本上掌握了，但- 26 - / 69 5；但有些隐函2是要想计算隐函数的导数，还是需要找出隐函数的求导法则。如下： 求方程F(x,y)?0确定的隐函数的导数y?，只要将方程中的y看作是x的函数，利用复合函数的求导法则，在方程两边同时对x求导，就可得到一个关于y?的方程，然后从中解出y?即可。 设计思路：讲解教材例题，加强同学们对隐函数求导法则的理解。 三、课堂演练 练习题： 1、设y?lnsinx，求y?。 2、设y?sin32x，求y?。 3、求由方程xy?ln(x?y)所确定的隐函数的导数y?。 4、求由方程y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数在x?0处的导数y?点评：练习题考察的是隐函数的求导法则，以及符合函数的求导。 四、课堂小结 本次课程的内容有：复合函数的求导法则；隐函数；隐函数求导法则。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P55- P56: 2.6 (1)-(4), 2.8. 课后总结分析：

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x?0。 （20分钟） （5分钟） 第 12 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §4 对数函数的求导 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解对数函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2、掌握函数的二阶导数以及简单函数的n阶导数。 教学方法、手段： 讲练结合，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：基本初等函数的导数公式； 难点：求函数的二阶以及二阶以上的导数。 教学内容及过程设计 一、课前复习 补充内容和时间分配 （10分钟） 学生阅读教材内容，复习上次课程学习的知识点，重点之处加以讲解。 二、讲授新课 提问：如何求解对数函数的导数呢？ 利用此问题吸引学生们的注意力，并引起他们学习的的兴趣。 1、对数函数求导 （15分钟） 思路：有这样两类函数，一是幂指函数，二是有一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数。对这两类函数求导时，先取对数，再利用隐函数的求导方法即可得到结果。 点评：讲练结合，让学生利用隐函数的求导方法练习求对数的导数。 2、基本初等函数的导数公式 课件展示：基本初等函数的求导公式（熟记）。 说明：基本初等函数的求导公式是我们用来求函数导数的关键，因此，求导公式不但 熟记，而且要求会运用它来求函数的导数。 思路：为同学们仔细分析每一个初等函数的导数公式，加强学生对求导公式的理解和（20分钟） 运用。 3、高阶导数 提问：在前面我们所学的都是求函数的一阶导数，二阶导数怎么求呢？ 设计思路：通过提问，引出高阶导数的概念，以此为源头逐步进行讲解，给出高阶导 数的定义。 一般地，y?f(x)的导数y??f?(x)仍然是x的函数，我们把y??f?(x)的导数称为 （20分钟） y?f(x)的二阶导数，记作 d2yd?dy? ??y????y??或f??(x)??f?(x)?或2???。 dxdx?dx? 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…。一般地， - 28 - / 69

n?1阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作 y???，y，y，...，y(4)(5)(n)或d3yd4ydny，4，...，n。 3dxdxdx二阶及二阶以上的导数，统称高阶导数。 说明：求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。 三、课堂演练 练习题： 1、设y?(sinx)x，求y?。 2、求函数y?(x?1)2(2x?7)3(3x?5)5的导数。 3、y?ax?b，求y??。 4、指数函数y?ex的n阶导数。 演练意图：通过习题练习，考察学生对于本次课程知识点的初步掌握情况。 三、课堂小结 对数求导，基本初等函数的求导公式，高阶导数。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P55: 2.7. 课后总结分析：

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（20分钟） （5分钟） 第 13 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §5 微分及其应用 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解微分的概念； 2、了解微分的几何意义，会运用基本初等函数的微分公式求函数的微分。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：微分的概念及微分公式； 难点：利用基本初等函数的微分公式求函数的微分。 教学内容及过程设计 一、引入新课 给出一个实例“一块正方形均质金属薄片因为受热膨胀（课件展示），其边长由x0变到x0??x” 通过图形，分析此问题。 正方形的面积A与边长x的函数关系为：A?x2。据此，薄片面积的增加量可以看成当自变量x自x0取得增量?x时，函数A?x2相应的增量?A，即 补充内容和时间分配 （15分钟） （15分钟） ?A??x0??x?2?x20?2x0?x???x?2。 ?A的几何意义很明显，?A由两部分构成：第一部分2x0?x是?x的线性代数，是图2-2中画斜线的两个小长方形的面积之和；第二部分是??x?，是图2-2中画交叉线的小2正方形的面积。一般情况下，当?x很小，(?x)2更小。当?x?0时，(?x)2是?x的高阶无穷小，即(?x)2??(?x)(?x?0)。所以，当?x很小时，2x0?x是?A的很好的近似，即?A?2x0?x 设计意图：通过对此实例的讲解，引出微分的概念。 二、讲授新课 1、微分的定义 如果函数y?f(x)在点x处的改变量?y可以表示为 ?y?A?x?o??x?(?x?0)， 其中，A是与?x无关的量，则称函数y?f(x)在点x处可微，称A?x为函数y?f(x)在点x处的微分，记作dy，即dy?A?x。 注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求sinx对可以看成sinx微分与x的导数时就x微分的商，即 - 30 - / 69

dsinxcosxdx??2xcosx。 1dxdx2x注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差?x的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式： ?y?dy?f??x0??x， f??x0??x??f?x0??f??x0??x。 典型例题： 例题1.（教材36页例2.19） 讲解：略 点评：通过例题加深学生对于微分定义的理解，帮助学生更好的应用微分的定义。 2、基本初等函数的微分公式 强调：基本初等函数的微分公式需要学生们熟记，这是求函数微分的关键。 探索：给出一些函数，让学生利用微分公式求函数的微分。 设计思路：由基本初等函数的导数公式可以直接得到基本初等函数的微分公式，要求学生对比导数公式记忆。 3、微分的运算法则 说明：因为微分和导数是密切相关的，所以它们有相似的运算法则。 微分的运算法则（课件展示）。 设计思路：讲解例题，让学生们利用微分的运算法则求函数的微分。 4、复合函数的微分法则 复习复合函数的导数运算法则，根据复合函数的导数的运算法则，给出复合函数的运算法则，如下： 设函数y?f(u)，u??(x)都可微，则复合函数y?f[?(x)]的微分为 dy?f?(u)??(x)dx。 由于du???(x)dx，所以，复合函数y?f[?(x)]的微分也可以写成： dy?f??u?du。 说明：无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy?f??u?du总保持不变，这一性质称为微分形式不变性。 典型例题： 例1.（教材38页例2.20） 讲解：略 点评：通过例题的讲解，初步复合函数微分法则的运用。 三、课堂演练 练习题： 1、求函数y?x3在x?1处，当?x?0.1和?x?0.01时的增量和微分。 - 31 - / 69

5分钟学生消化以上所讲的知识。 （10分钟） （10分钟） （15分钟） （10分钟） 2、填下面的空。 （1）d（ ）?cos2xdx； （2）d（ ）?3e2xdx。 点评：考察学生对于定义求导数的方法。 四、课堂小结 本次课程的内容有：微分的概念，微分的几何意义，基本初等函数的微分公式。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P56: 2.9，2.10，2.11. 课后总结分析：

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第 14 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §6函数的单调性及拉格朗日中值定理 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、理解拉格朗日中值定理； 2、掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。 教学方法、手段： 讲练结合，师生互动；板书、幻灯片 教学重点、难点： 拉格朗日中值定理；函数单调性的判别； 教学内容及过程设计 一、知识点复习 同学们阅读教材内容，复习微分的定义及其性质。 设计意图：微分的性质是本节课程的基础，理解微分的概念才能更好的学习本节的知识点。 二、讲授新课 （一）拉格朗日中值定理 定理2.3 （拉格朗日中值定理） 若函数f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续。 （2）在开区间（a,b）上可导，则至少有一点??(a,b)，使得f?(?)?f(b)?f(a)?f?(?)?b?a?。 f(b)?f(a)或b?a补充内容和时间分配 （10分钟） （20分钟） （15分钟） y B C y?f(x) A o a ?1 ?2 图2-4 x b 定理的几何意义：如果连续曲线y?f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，弧上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。 说明：(1)此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。 典型例题： 例1（教材40页例2.24） - 33 - / 69

讲解：略 例2（教材41页例2.25） 讲解：略 点评：通过例题加深同学们对于拉格朗日中值定理的理解，初步了解定义的运用。 由拉格朗日定理，可得如下两个推论： 推论1 设函数f(x)在(a,b)内可导，且f?(x)?0，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数。 推论2 如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f?(x)与g?(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数。 （二）函数的单调性 定理2.4 （判定法）设函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 （1）如果在?a,b?内f?(x)?0，那么函数y?f(x)在[a,b]上单调增加。 （2）如果在(a,b)内f?(x)?0，那么函数y?f(x)在[a,b]上单调减少。 说明：判定法中的闭区间换成其他各种区间，包括无穷区间，结论也成立。 确定函数的单调性的一般步骤是： （1）确定函数的定义域； （2）求出使f?(x)?0和f?(x)不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间； （3）确定f?(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性。 典型例题： 例1（教材42页例2.26） 讲解：略 例2（教材42页例2.27） 讲解：略 点评：通过确定函数的单调性的步骤求解函数的单调区间，思路明确，解题时不易出错。 三. 课堂小结 本次课程的内容有：拉格朗日中值定理；函数的单调性； 布置作业： 1.教材55页习题二：第13题； 第14题（1、2） 课后总结分析：

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（10分钟消化新知识） （20分钟） （10分钟） （5分钟） 第 15 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §7罗必塔法则 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、理解洛必达法则；掌握洛必达法则的运用条件； 教学方法、手段： 讲练结合，师生互动；板书、幻灯片 教学重点、难点： 拉格朗日中值定理；函数单调性的判别； 教学内容及过程设计 一、知识点复习 同学们回忆拉格朗日中值定理；函数单调性的求解步骤。 设计意图：拉格朗日中值定理，函数的单调性是微分应用中常常运用到的两个知识点，希望同学们多加强相关习题的练习。 二、讲授新课 （一）洛必达法则 1.0型未定式 0补充内容和时间分配 （10分钟） （25分钟） 定理2.5 设（1）当x?x0时，函数f(x)及?(x)都趋于零； （2）在点x0的某邻域内（点x0本身可以除外），f?(x)及??(x)都存在且??(x)?0； （3）limf?(x)存在（或为无穷大），那么， x?x0??(x)x?x0limf(x)f?(x)。 ?lim?(x)x?x0??(x)说明:（1）如果0f?(x)，当x?x0时仍属型时，且这时f?(x)、??(x)能满足定理中0??(x)f(x)、?(x)所要满足的条件，那么可继续再用罗必塔法则。 （2）定理中的x?x0换为x??（或其他趋势）时，结论也成立。 如果连续曲线y?f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，弧上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。 典型例题： 例1（教材43页例2.28） 讲解：略 点评：此题也可以利用极限的等价无穷小代换去求。 例2（教材43页例2.29） 讲解：略 点评：通过例题的讲解，初步加强同学们多于0/0型的洛必达法则的运用。 - 35 - / 69

2.?型未定式 ?定理2.6 设f(x)、?(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，若 （1）limf?x??lim??x???； x?x0x?x0（2）f(x)、?(x)在点x0的某个去心邻域内可导，且??(x)?0； f?(x)（3）lim存在（或为无穷大）， x?x0??(x)则 x?x0limf(x)f?(x)=lim。 ?(x)x?x0??(x)把定理2.6中的x?x0换为x??（或其它情形）时，结论也成立。 典型例题： 例1（教材43页例2.30） 讲解：略 例2（教材43页例2.31） 讲解：略 3．其它类型的未定式 说明：其他一些0??、???、00、1?、?0型的未定式，我们也可通过适当变形化0?或型，再用罗必塔法则。 0?典型例题： 例1（教材44页例2.32） 讲解：略 例2（教材43页例2.33） 讲解：略 例3（教材43页例2.34） 讲解：略 注意：洛必塔法则是求未定式的极限一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或应用重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算更简捷。 三. 课堂小结 本次课程学习的知识点有：洛必达法则的三大类型未定式； 为布置作业： 1.教材55页习题二：第16题（1、3、5、7）； （25分钟） （25分钟） （5分钟） - 36 - / 69

课后总结分析：

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第 16 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §8函数的极值与最值 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法； 2、掌握函数最大值，最小值的的求解。 教学方法、手段： 讲练结合，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：函数极值的概念； 难点：函数的单调性。 教学内容及过程设计 一、引入新课 课件引入实例，分析讲解例题求解思路，到处函数极值的概念。 二、讲授新课 1、函数极值的定义 y aC2C1 C3? C4bC5x 提问：找出图中的最大值和最小值。 引出函数极值的概念。 课件展示：函数极值的定义。 注意： （1）函数的极大值和极小值概念是局部的。 （2）函数的极大值未必比极小值大。如上图，f(C1)就比f(C5)小。 （3）函数的极值一定出现在区间内部，在区间端点处不能取得极值；而函数的最大值、最小值可能出现在区间内部，也可能在区间的端点处取得。 （4）从上图可看到，在函数取得极值点处，曲线上的切线是水平的；反之，曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值。 （5）极值点是函数增减或减增的分界点。 2、函数极值的判定和求法 f(x0)?0 y y f(x0)?0 oo a x0 b a x0 x b x 补充内容和时间分配 （10分钟） （20分钟） （20分钟） - 38 - / 69

观察以上图形，分析边讲解，当x渐增地经过x0时，如果f?(x)的符号由正变负，则函数f(x)在x0处取得极大值；如果f?(x)的符号由负变正，则函数f(x)在x0处取得极小值。 注意：如果当x渐增地经过x0时，f?(x)的符号并未改变，那么函数f(x)在x0处没有极值。 课件展示：函数极值的判定和求法。 说明：使函数导数为0的点（即f?(x0)=0的实根）叫函数f(x)的驻点。可导函数的极值点必定是驻点。反过来，函数的驻点却不一定是极值点。 通过以上观察图形和分析图形，以及对函数极值的判定和求法的了解，得出可导函数求极值的步骤如下：（强调） （1）求出函数的定义域； （2）求出导数f?(x)； （3）求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点； （4）求出各极值点的函数值，即得函数f(x)的全部极值。 说明：熟练掌握函数极值的求解步骤。 典型例题： 例1.（教材47页例2.35） 讲解：略 点评：通过例题的讲解，辅助学生理解函数极值的求解步骤。 3、函数的最大值和最小值 课件展示：函数的最值，最大值及最小值的概念。 说明：由极值和最值的定义可知，极值是一个局部概念，而最值是一个整体概念。根据闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值，由以上内容可知函数f(x)最大值和最小值只可能在区间[a,b]内的端点、或(a,b)内的极值点处取得，而只有驻点和不可导点有可能是极值点。 小结：求函数y?f(x)在闭区间[a,b]上最大值和最小值的步骤可归纳为： 在闭区间上 （1）求出函数f(x)在[a,b]内的所有驻点及不可导点； （2）求出各驻点不可导点及区间端点处的函数值； （3）比较这些函数值的大小，其中最大者即为函数f(x)在[a,b]内的最大值；最小者即为函数f(x)在[a,b]内的最小值。 典型例题： 例2.（教材48页例2.36） 讲解：略 点评：函数的最大值与最小值的求解方法理解不难，求解方法需要多加练习，通过例题的讲解，为学生引导出一个求函数最大值最小值的基本方法。 三、课堂小结 本次课程的内容有： 函数的单调性，函数极值的定义，函数的极大值和极小值。 （10分钟） （25分钟） （5分钟） - 39 - / 69

思考题、作业题、讨论题： 作业题： P55：2、14 课后总结分析：

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第 17次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第二章 导数与微分 §9 本章小结 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□ 教学目的： 1、巩固学生复习本章的知识点，加强学生对本章知识的点的理解和运用。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：理解本章的基本知识点； 难点：会运用本章所学的知识。 教学内容及过程设计 一、知识点复习 补充内容和时间分配 1、课件展示：导数的概念。 （5分钟） 说明：在没有特别说明的情况下，导数指的是导函数。如果给出了具体的点，导数指 的是该点的导数值。 2、微分的概念。 （5分钟） 课件展示：微分的概念。 3、如何求函数的导数？ 有两种方法可以求函数的导数： （10分钟） 用导数的定义求导和导致数的求导公式求导。 探索：如果求两个函数的和、商或者乘的导数应该怎么求呀？ 4、导数的四则运算法则。 （5分钟） 课件展示：用定义求导数的方法，用导数的公式求导的方法以及导数的四则运算法则。 5、复合函数的导数法则 （5分钟） 课件展示：复合函数的求导方法。 6、可导函数单调性的判定方法。 （10分钟） 提问：求极限的方法有哪些？ 小结：罗必塔法则求未定式极限的方法。 7、函数极值及最值 说明：（1）要判定一个函数在某点是否可导，一般地，可先检查函数在该点是否连续， 如果不连续，就一定不可导；如果连续，可直接用导数定义来判定，或用求左导数与右导（10分钟） 数是否存在并且相等来判定。 （2）复合函数求导数法是函数求导的核心，因为复合函数求导法既可以解决复合函 数的求导问题，又是隐函数求导法与对数求导法等的基础。 二、典型例题 例1 求下列函数的导数。 - 41 - / 69

(1)y?2x2?ln2； (2)y?1?sinx?x； x(3)y?excosx； (4)y?x3lnx。 说明：该部分习题考察学生对于函数求导法则的运用。 例2 求由方程ey?xy?e?0所确定的隐函数y的导数y?。 例3求由方程y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数在x?0处的导数y?说明：该部分习题考察学生对于隐函数求导法则的运用。 例4求函数y?x3在x?1处，当?x?0.1和?x?0.01时的增量和微分。 点评：函数定义求导法则的“三步骤” 例5 （1）limsinaxlnx(b?0)；（2）limn(n?0)； x?0sinbxx???xx?0。 （3）lim?lnx?x2x???；（4）limxlnx； x?0?说明：考察洛必达法则的运用，该部分习题需重点讲解。 例6 求f(x)=x3?3x2?9x?5的极值。 说明：考察函数极值的求解。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： 必做题：P55-P57: 2.1, 2.3, 2.5 (1)-(3), 2.6 (1)-(2), 选做题：2.11 (1)-(2), 2.14, 2.16 (1)-(2). 课后总结分析：

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（15分钟） （15分钟） （10分钟） （5分钟）

第 18 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第三章 不定积分 §1不定积分的概念 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解原函数，不定积分的概念； 2、熟悉基本积分公式。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：原函数，不定积分的概念； 难点：利用积分公式求函数的积分。 教学内容及过程设计 一、引入新课 补充内容和时间分配 通过实例（变速直线运动（课件展示））的分析和讲解，知其速度是路程函数s?s(t)（5分钟） 对时间t的导数，即速度v(t)?s?(t)。反过来，如果已知变速直线运动物体的速度函数 v?v(t)，如何求出物体的路程函数s?s(t)，使得它的导数s?(t)等于已知的速度函数v(t)。 这是我们这节课所要讲解的重点。 说明：从数学的观点来看，它的实质是：已知函数v?v(t)，求一个函数s?s(t)，使 得s?(t)?v(t)。这就是与求导数相反的问题。 通过对此例题的讲解，引出此节课要讲的不定积分的概念。 二、讲授新课 1、原函数的概念 定义3.1 设函数y?f(x)在某区间上有定义，若存在函数F(x)，使得在该区间任一（20分钟） 点处，均有 ?F(x)???f(x)或dF(x)?f(x)dx 则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数。 设计思路：通过几个例子加以说明，加强学生对于原函数概念的理解，为不定积分概 念的学习做铺垫。 2、不定积分的概念 不定积分的概念（课件展示），强调不定积分的重要性。 （25分钟） 说明：根据不定积分的定义可知，求函数f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函 数再加上一个常数C即可。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数 ?? 12?13??12?'(sinx)?cosx，族。例如：有 ?atdt?at?C；有?cosxdx?sinx?C；?at??at，?x??x2，2 ?3??2?- 43 - / 69

注意：求不定积分时，不要忘记在一个原函数后面再加任意常数C，否则求的只是一 个原函数，不是所有的原函数，即不定积分。通常把求不定积分的方法称为积分法。 提问：积分运算与微分运算有什么样的关系？ 小结： ① [?f(x)dx]??f(x)或d[?f(x)dx]?f(x)dx，此式表明，先求积分再求导数（或求微分）， 两种运算的作用相互抵消。 ② ?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C，此式表明，先求导数（或求微分）再求积 分两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C。对这两个式子，要熟练运用。 2、基本积分公式 课件展示：基本积分公式。 说明：求不定积分就是求导数的逆运算。 （20分钟） 结合例题加以分析讲解基本的积分公式，加深学生对于积分公式的记忆，常用的积分 公式着重讲解。 强调：以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还 要熟悉左端被积分函数的形式。 三、课堂演练 （15分钟） 练习题： 1、求下列各式的不定积分。 （1）?x2dx；（2）?sinxdx；（3）?exdx；（4）?1dx。 1?x2 2、已知曲线上任意一点切线的斜率为2x，且该曲线过(1,5)点，求曲线方程。 （5分钟） 四、课堂小结 1有?x2dx?x3?C。 3 本次课程的内容有：原函数的定义，不定积分的概念，基本积分公式。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P73: 3.1, 3.5 (1)-(4). 课后总结分析： - 44 - / 69

第 19次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第三章 不定积分 §2不定积分性质 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解不定积分的性质，掌握性质求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：不定积分的性质； 难点：会利用性质求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 一、引入新课 补充内容和时间分配 （15分钟） 提问：上次课程我们学了不定积分的概念，引入实例，通过实例的求解，引入不定积 分性质的话题，初步分析不定积分的性质。 二、讲授新课 1、不定积分的性质 1. 积分对于函数的可加性，即 （25分钟） ??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx， 可推广到有限个函数代数和的情况，即 [f(x)?f(x)???f(x)]dx?f(x)dx?f(x)dx???f(x)dx。 ?1?1?2?n2n 设计思路：给出几个例题，让学生们练习不积分的可加性，加强学生对性质的理解。 2. 积分对于函数的齐次性，即 5分钟学生消?kf(x)dx?k?f(x)dx ( k?0)。 化以上所讲的知识。 说明：利用不定积分的基本积分公式和性质，就可以求一些简单函数的不定积分。 2、典型例题 例1求下列各式的不定积分： （10分钟） （1）?3xdx； （2）?2xdx； （3）?3xexdx。 讲解：略 1（5分钟） 例2求?(3cosx??2x)dx。 x 讲解：略 (2x?1)2例3求?dx。 （5分钟） x- 45 - / 69

讲解：略 x2例4求?dx。 1?x2x例5求?cos2dx。 21?cos2xdx。 例6求?2xsin2例7 求?1sinxcosx22dx。 说明：不定积分性质运用，理解比较困难，这种加强例、习题的讲解和练习，帮助学生掌握不定积分的性质。 （5分钟） （5分钟） （5分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P73: 3.5（5）-（12）. 课后总结分析：

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第 20 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第三章 不定积分 §3第一换元积分法 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握第一换元积分法； 2、会利用第一换元积分法求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：第一换元积分法； 难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 （15分钟） 引入一个例子，通过例题的讲解； 提问：你能通过例子总结一下不定积分的积分方法吗？ 二、讲授新课 1、第一换元法的概念 （20分钟） 给出不定积分?cos2xdx，计算了它的原函数， 注意：cos2x为复合函数。 分析此不定积分： 通过观察在积分表中没有此公式，只有?cosxdx?sinx?C，若将公式改写为员 1 ?cos2xdx?2?cos2xd(2x)。令u?2x， 则上式变为 1111cos2xdx?cos2xd(2x)?cosudu?sinu?C?sin2x?C。 ???2222 这种先凑微分形式，再作代换的积分方法，叫做第一换元积分法。 说明：第一换元积分法，又称凑微分法。 设计思路：讲练结合，给出例题，让学生们利用第一换元积分法求函数的不定积分， 加强对上方法的理解和运用。 （20分钟） 2、利用第一换元法求函数不定积分的步骤。 提问：通过以上对第一换元法例题的讲解，同学们总结一下第一换元法求函数的不定 积分的步骤是什么？ 小结： ?（1）先凑微分，即?f[?(x)]?(x)dx 凑微分 ?f[?(x)]d[?(x)]； - 47 - / 69

（2）变量代换后积分，令u??(x)，?f[?(x)]d?(x)， 令u??(x) ?f(u)du?F(u)?C； （3）最后回代， ?f(u)du?F(u)?C 回代 F[?(x)]?C。 其中，第一步凑微分是关键，因而第一换元法又常称为凑微分法。 设计思路：给出例题，根据所讲的求积分的步骤，求函数的不定积分，加强对此步骤的应用。 三、课堂练习 例1 求下列函数的不定积分。 x1dx； （1）?（2）?e2x?1dx；（3）?2xe3x?122dx； dxe3xdx； （4）?x1?xdx；（5）?2（6）?；（7）?dx；xlnxxa?x21（8）?tanxdx；（9）?cos2xdx；（10）?sin3xdx。 四、课堂小结 本次课程的内容有：第一换元积分法的概念；不第一换元积分法求不定积分的步骤 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P73- P74: 3.6. 课后总结分析：

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5分钟学生消化以上所讲的知识。 （25分钟） （5分钟） 第 21 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第三章 不定积分 §4第二换元积分法 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握第二换元积分法； 2、会利用第二换元积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：第二换元积分法； 难点：会用第二换元积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 （20分钟） 回顾第一换元法。 说明：第一换元法是先凑微分，再用新变量u替换?(x)。但是有些积分是不容易凑微 分的，需要新的积分方法。 1给出例子?dx，分析、解答此问题。 x?1 分析：在基本积分公式中，没有类似被积函数的公式，这就不能直接积分；也找不到 合适的凑微分的部分，第一换元法就不能用。如果先去掉根号，可令x?t，则 x?t2,dx?2tdt。 11 解 dx?2tdt t?1x?1 t?1?11??=2?dt?2??1??dt?2t?2lnt?1?C t?1t?1?? ?2x?2lnx?1?C 设计思路：通过例题讲解，引出第二积分法这一求解不易凑微分的求解积分的方法。 （10分钟） 二、讲授新课 1、第二换元法的概念 （25分钟） 从以上例题的解法，可以看出，这种先换元，再积分，称为第二换元积分法。 2、第二换元积分法的步骤 第二换元积分法的步骤如下： （1）先换元，令x??(t)，即 ?f(x)dxx??(t)换元?f??(t)???(t)dt； ??- 49 - / 69

（2）再积分，即?f[?(t)]??(t)dt 积分 F(t)?C； （3）最后回代，t???1(x)，即 F(t)?C t???1(x) 回代 F[??1(x)]?C。 强调：运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数x??(t)。对于x??(t)，要求单调可微，且??(t)?0，其中t???1(x)是x??(t)的反函数。 说明：（1）第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分。 （2）第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换，当被积函数含有nax?b时，可作幂代换令t?nax?b；当被积函数含有a2?x2，a2?x2，三角代换，分别令x?asint，x?atant，x?asect。 三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 1x?1（1）?（2）?（3）?a2?x2dx(a?0)。 dx；dx；xx?2x?3x讲解：略 点评：上述类型的习题，由于第一换元积分等方法不易求解，可根据第二积分换元法的解题步骤，逐次解答。 四、课堂小结 本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分。 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P74: 3.7. 课后总结分析：

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x2?a2等表达式时，可作 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （20分钟） （10分钟）