一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）
课标要求分析：
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
本周学习目标：
1．掌握一元二次不等式的基本解法；
2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想； 3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法； 4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。
本周学习重难点：
一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。
本周学习内容：
1．一元一次不等式的解法回顾
为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。
2．一元二次不等式的解法
一元二次不等式的一般形式：
由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系， 进而可以利用函数图象得到不等式的解集。 设
，
两根为
，
。
结合图象按判别式分类归纳下表： 解集判别式 注意： （1） （2）
关于含参讨论注意：
R 的情形要转化为，
1
的情形； 解集的变化。
（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；
（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）； （3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。 （4）书写表达的规范。
3．高次（分式）不等式的解法 简单高次不等式
的解法：穿线法。
注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。
（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）
分式不等式：分式化整式。
一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的限制。特别小心“≥，≤”型的不等式。
4．无理及指对不等式的解法
无理不等式：转化思想，等价不等式（组）或数形结合
或，
，
。
5．绝对值不等式的解法
含一个绝对值：
或
含两个或以上绝对值：零点分段法。
也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。 本周典型例题：
1．解关于x的不等式：
（1） （2）
分析：注意对字母系数的讨论，分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。 解析：（1）不等式可整理为
当
，即或时，不等式解集为
2
；
当，即或时，若，解集为R；若，解集为；
当，即时，不等式解集为
。
（2）不等式可整理为
当，即或时，不等式解集为
当，即或时，若，解集为R;若，解集为；
若
，即时，解集为。
2．解下列一元二次不等式：
； （2）
； （4）
；
。
（1） （3）
分析：熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式。
解析：（1）整理得 （2）整理得 （3）整理得 （4）整理得
，解集为，解集为R。
。
，解集为[-1，3]。 ，解集为
。
3．已知二次函数，当时，有，解关于x的不等式。
分析：考查二次函数与二次不等式的联系。深化对用函数图象解二次不等式的理解。
解析：由时，有，说明不等式的解是，
进而方程的两根为。
于是由根与系数的关系，
，求得
3
故不等式
即为，解得。
4．若不等式的解集为，求a和b的值。 分析：考查二次方程与二次不等式的联系。注意二次项系数的正负。 解析：不等式
的解集为
，故
。
利用二次不等式与方程的关系，
有，解得。这个解符合，从而a和b的值均为-2。
5．若不等式对一切都成立，求实数m的取值范围。
分析：本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”。而后再运用判别式的知识解题。
解析：由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论。 若
，即m=2，则不等式化为
，对一切
都成立，故m=2符合题意。
当时，依题意需满足
。
，解得。
综上，m的取值范围为
6．解关于x的不等式：
；（2）
（1）；（3）
分析：本题侧重考查含参二次不等式的解法。在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法。数形结合，定开口、定△、定根（比大小）、画图、写解集。 解析： （1）若
，则为一元一次不等式，解集为
；
当时，方程两根为；
若时，则解集为；
若，则，解集为；
若
，则解集为；
4
若，则解集为。
（2）若m=0，则为一元一次不等式，解集为R； 当m≠0时，二次项系数
，
；不等式化为
。
若，则解集为；
若，则解集为。 ，解集为
（3）若k=0，不等式变形为
若k≠0，不等式为一元二次不等式， 若
，则
，
方程的根为，
，且，解集为
若，则，
方程的根为，
，且，
解集为
若 方程
时，， 的根为
，解集为
若时，，解集为R。
综上，若，解集为；若，解集为；
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一元二次不等式及其解法
