9．直线和圆
一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．?0,???2?3(,??) U,? 2．1 3．20 4．8 5．??33?3??
15
6．点在圆外 7． 8．
2 9．（-2,-1）或（
21,） 10．?2U(?1,1] 55??二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．因为圆C与直线设圆心坐标因为圆C与圆则解之得，
或
或
相切于点Q,半径相外切，
，则圆心C在直线
上，
从而，所求圆C方程为
?a?2b?2??2?0??22??a?0b?2??1??b?0 (a,b)a?2?12．解:(Ⅰ)设圆心C,则,解得?222222x?y?rx?y?2 CCr?2P则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为22x?y?2, Q(x,y) (Ⅱ)设,则
uuuruuuur22PQ?MQ?(x?1,y?1)?(x?2,y?2)x?y?x?y?4=x?y?2, 且=
uuuruuuurPQ?MQ的最小值为?4(可由线性规划或三角代换求得) 所以
(Ⅲ)由题意知, 直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数, 故可设PA:y?1?k(x?1),PB:y?1??k(x?1),
?y?1?k(x?1)?22222x?y?2(1?k)x?2k(1?k)x?(1?k)?2?0 ?由,得
k2?2k?1xA?1?k2， 因为点P的横坐标x?1一定是该方程的解,故可得k2?2k?1xB?1?k2, 同理,
kAB?所以
yB?yA?k(xB?1)?k(xA?1)2k?k(xB?xA)???1kxB?xAxB?xAxB?xA=OP
所以,直线AB和OP一定平行
13．解：（1）eC:(x?2)2?(y?3)2?1．
当切线的斜率不存在时，对直线x?3,C(2,3)到直线的距离为1，满足条件；
|?k?2|3?1 当k存在时，设直线y?5?k(x?3)，即y?kx?5?3k，∴，得． k?24k?1311 ∴得直线方程x?3或y?x? ．
44111（2）|AO|?9?25?34，l:5x?3y?0，d? ，S?a|AO|?．
223414．解：（1）圆心O到直线l的距离d?221?k2,?l与圆O相交,?d<2,?k?1或k??1.
1822k2?12∴s(k)??24?d?d?4?（k?1或k??1）． ??42222221?k(1?k)1?k?211121??42?2(?)??2， （2）s(k)?42222248(1?k)1?k1?k?k??3时,有s(k)max?2．
15．解：（1）?圆C过原点O，?OC?t?设圆C的方程是(x?t)?(y?)?t?令x?0，得y1?0,y2?2224． 2t2t224， t2?S?OAB4；令y?0，得x1?0,x2?2t． t114?OA?OB??||?|2t|?4，即?OAB的面积为定值． 22t（2）?OM?ON,CM?CN,?OC垂直平分线段MN．
?kMN??2,?koc??11，?直线OC的方程是y?x． 2221?t，解得：t?2或t??2． t25，此时C到直线y??2x?4的距离d?OC?当t?2时，圆心C为(2,1)，
95?5，
∴圆C与直线y??2x?4相交于两点． 当t??2时,圆心C为(?2,?1),OC?5,则C到直线y??2x?4距离d?95?5，
∴圆C与直线y??2x?4不相交，?t??2不符合题意舍去． 所以圆C的方程为(x?2)?(y?1)?5．
2210．圆锥曲线与方程
一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
22 5．(,1)6．椭圆 22
1. 2． 3． 4．0＜e≤
7．内切 8．83cm 12cm
1?? 9．[,] 10．3x?py?2q?0232
二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22
，∴c =1，∴b=1． 2x2所以椭圆C的标准方程为?y2?1．
21 （2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴kPF??，∴kOQ?2．
211．（1）由题意，得a =2，e =所以直线OQ的方程为y =2x．
又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q(2，4)，所以kPQ?4?1?1．
2?(?1)又kOP??1，所以kPQ?kOP??1，即OP⊥PQ．故直线PQ与圆O相切．
12．解：（1）点A代入圆C方程，得(3?m)2?1?5．∵m＜3，∴m＝1． 设直线PF1的斜率为k，则PF1：y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0． ∵直线PF1与圆C相切，圆C：(x?1)2?y2?5， |k?0?4k?4|111?5，解得k?,或k?． ∴22k2?11136当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
1121时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．∴F1（－4，0），F2（4，0）． 2故2a＝AF1＋AF2＝52?2?62，a?32，a2＝18，b2＝2．
x2y2椭圆E的方程为：??1．
182uuuruuuruuuruuur（2）AP?(1,3)，设Q（x，y），AQ?(x?3,y?1)，AP?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6． 当k＝
x2y2∵??1，即x2?(3y)2?18，而x2?(3y)2≥2|x|?|3y|，∴－18≤6xy≤18． 182则(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]．
∴x?3y的取值范围是[－6，6]．即
13．解： ⑴设Q（x0，0），由F（-c，0），A（0，b）知FA?(c,b),AQ?(x0,?b)，
b2?FA?AQ,?cx0?b?0,x0?c，
288b25设P(x1,y1),由AP?PQ，得x1?,y1?b．
13c1358b225()(b)2?132?1，整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac， 因为点P在椭圆上，所以13c2ab∴2e2?3e?2?0,故椭圆的离心率e=
21． 2b23c11⑵由⑴知2b?3ac，得?a；又?，得c?a，
c2a221311于是F（－a，0），Q(a,0)，△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a，
22221|a?5|x2y22??1． 所以?a，解得a=2，∴c=1，b=3，所求椭圆方程为43214．解：（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y?2?k(x?2),即kx?y?2k?2?0.
|2k?2|?1,化简得3k2?8k?3?0.所以k1?k2?1. 其与圆相切则
k2?1（2）设点P坐标为(x0,y0)，过点P的切线斜率为k,则方程为y?y0?k(x?x0)
即kx?y?2k?2?0.其与圆相切则|kx0?y0|2k?122(x0?1)k2?2x0y0k?(y0?1)?0.因为k1,k2存在，
22?1,化简得
2则x0??1，且??(2xpyp)?4(xp?1)(yp?1)?4(xp?yp?1)?0，
222y0?122?y0???1. 由k1,k2是方程的两个根，所以k1?k2?2???，化简得?x0x0?1即所求的曲线M的方程为?x2?y2???1(x??1). 若??(??,?1),M所在圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线； 若??(?1,0),M所在圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线； 若??(0,1),M所在圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆； 若??1,M所在曲线是圆；
若??(1,??,),M所在圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆.
?2a?62?a?32??2x2y2?c?1…4分 15．（Ⅰ）????c?3所求椭圆M的方程为?2189?a?b?3??b2?a2?c2?（Ⅱ）当?≠
?，设直线AB的斜率为k = tan?，焦点F ( 3 , 0 )， 2
则直线AB的方程为y = k ( x – 3 )
?y?kx?3k?有?x2?( 1 + 2k2 )x2 – 12k2x + 18( k2 – 1 ) = 0 y2?1???189设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )
12k2有x1 + x2 =, 21?2k|AB| =
又因为 k = tan?=
(** )
sin? cos?代入**式得
|AB| =当?=
626262?? 22222cos??2sin?1?sin??2sin?1?sin??时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =32 262?时，|AB| ==32
1?sin2?2
而当?=
高三数学寒假学生自主学习讲义、参考答案
