21．1 一元二次方程
01 基础题
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1．(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A)
11
A．3(x＋1)2＝2(x－1) B.2＋－2＝0
xx
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝(x＋1)(x－1) 2．下列一元二次方程中，常数项为0的是(D)
A．x2＋x＝1 B．2x2－x－12＝0 C．2(x2－1)＝3(x－1) D．2(x2＋1)＝x＋2
3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．
4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)2x2＝8；
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.
(2)2x2＋5＝4x；
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0. 其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.
(3)4y(y＋3)＝0；
解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0. 其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.
(4)(x－2)(2x＋1)＝x2＋2.
解：去括号，得2x2＋x－4x－2＝x2＋2.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式： x2－3x－4＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4.
知识点2 一元二次方程的根
5．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是(A)
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2
6．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(D
x x2－x －2 6 －1 2 0 0 1 0 2 2 3 6 … … A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1或x＝2
7．(山西第二次质量评估)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为1．
知识点3 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
9．(教材P2问题1变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为(C)
A．(80－x)(70－x)＝3 000 B．80×70－4x2＝3 000
C．(80－2x)(70－2x)＝3 000 D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3 000
10．有一根20 m长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m2的矩形？设矩形的长为x m，依题意可得方程为x(10－x)＝24．
11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：(1)6x2＝36. 一般形式为6x2－36＝0. 1
(2)x(x－1)＝15. 2
11
一般形式为x2－x－15＝0或x2－x－30＝0.
22
易错点 忽视一元二次方程二次项的系数不为零
12．若(m＋1)x|m|1＋6x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为1．
＋
02 中档题
13．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2 018－a－b的值是(A)
A．2 023 B．2 013 C．2 018 D．2 012
14．(阳泉市盂县期末) 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为(C)
A．－1 B．0 C．1 D．－2
15．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝－2． 16．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x cm，则另一直角边长为(17－x) cm，列方程得x2＋(17－x)2＝132．
17．如果－5是一元二次方程x2＝c2的一个根，那么常数c是±5，方程的另一根是5． 18．(临汾市襄汾县期末)已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两根，且a2－2b2－2a＋4b＋m＝0，则m＝1．
19．根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：
在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学．
解：设九(四)班有x名同学，根据题意，得 x(x－1)＝870.
将方程化成一般形式为x2－x－870＝0.
20．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)由题意，得(m＋3)(m－3)＝0且m＋3≠0， 所以m－3＝0，即m＝3.
(2)由题意，得(m＋3)(m－3)≠0，即m≠±3.
03 综合题
21．若x2ab－2xab＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：满
＋
－
??2a＋b＝2，
足条件的a，b必须满足?你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余
?a－b＝2，?
满足的条件．
解：张敏的这种想法不全面．
由x2ab－2xab＋3＝0是关于x的一元二次方程，得
＋
－
??2a＋b＝2，??2a＋b＝2，??2a＋b＝2，??2a＋b＝1，??2a＋b＝0，
?或?或?或?或? ?????a－b＝0，a－b＝1，a－b＝2，a－b＝2，a－b＝2.?????
人教版初中数学《一元二次方程》同步习题（含答案）
