(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
π
1．使函数f(x)＝x＋2cos x在[0，]上取最大值的x为( )
2
π
A．0 B. 4
ππC. D. 32
πππ
解析：选B.f′(x)＝1－2sin x，∴f(x)在[0，]上单调递增，[，]上单调递减，∴选B.
442
2．定义在R上的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( ) A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选C.当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f′(x)>0，又xf′(x)<0， ∴x∈(－∞，－1)． 当x∈(－1，1)时，f′(x)<0， 又xf′(x)<0，
∴x∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C.
3．函数f(x)＝x－ax在x∈[1，4]上单调递减，则实数a的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
a
解析：选D.依题意得，当x∈[1，4]时，f′(x)＝1－≤0，即a≥2x恒成立．注意到
2xx∈[1，4]时，y＝2x的最大值是24＝4，因此，实数a的最小值为4，选D.
4.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是( )
解析：选C.由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0 时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确． 5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．0 1 C．－1 2 解析：选B.f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，无最值，排除A、C，当a>0时，令f′(x)＝0得x＝－a(舍)，x＝a，由题意知0 ∴0 6．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 第 1 页 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值． 当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2， 则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]， 所以f′(1)＝0，且当x>1时，f′(x)>0；在x＝1附近的左侧，f′(x)<0，所以f(1)是极小值． 7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为( ) A．－13 B．－15 C．10 D．15 解析：选A.f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意f′(2)＝－12＋4a＝0，∴a＝3.∴f′(x)＝－3x2＋6x，其对称轴x＝1，开口向下，当n∈[－1，1]时， f′(n)最小＝f′(－1)＝－9， 令f′(x)＝－3x(x－2)＝0，则x＝0或x＝2， 当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，1)时，f′(x)>0， ∴当m∈[－1，1]时，f(m)最小＝f(0)＝－4， 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13. 8．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) llA．()3π B．()3π 63l1lC．()3π D.()3π 444 l－4r ，V2 llll ＝πr2h＝πr2－2πr3(0 2466 ll 其唯一的极值点．当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π，故选A. 66 9. 函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0，1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( ) A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1 1 0，?上有增有减且不解析：选B.观察图像易知，a>0，f(x)在[0，1]上先增后减，但在??2?解析：选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝对称． 1 对于选项A，m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)是二次函数，图像应关于直线x＝对称， 2不符合题意． 对于选项B，m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)， 第 2 页 1 令f′(x)≥0，得x≥1或x≤， 3 1 0，?上单调递增，符合题意． ∴f(x)在??3?对于选项C，m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)， 2 令f′(x)≥0，得0≤x≤， 32 0，?上单调递增，不符合题意． ∴f(x)在??3?对于选项D，m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)， 3 令f′(x)≥0，得0≤x≤， 43 0，?上单调递增，不符合题意． ∴f(x)在??4?10．已知函数f(x)＝|xex|，关于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不等实数根，则t的取值范围为( ) e2＋1e2＋1A．(，＋∞) B．(2，) eee2＋1e2＋1C．(－，－2) D．(－∞，－) ee 解析：选D.设g(x)＝xex，g′(x)＝ex(1＋x)，当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且x→－∞，g(x)→0. 1 g(x)最小＝g(－1)＝－，g(0)＝0，∴f(x)＝|xex|的图像如图， e 11 由题意知，f(x)有两个不等正值使方程成立．设为a，b(a ee Δ＝t－4>0 ?? 由根与系数的关系?－t＝a＋b>0， ??1＝ab 2 11111 ∴－t＝a＋b＝a＋在(0，)递减，a＋>e＋，故t<－(e＋)，即t的取值范围为(－∞， aeaeee2＋1 －)．所以选D. e 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续行驶，已知A车向北行驶速度为30 km/h，B车向东行驶速度为40 km/h，那么A、B两车间直线距离的增加速度是________ km/h. 解析：设A、B两车的行驶时间为t小时，则A、B两车间的直线距离s＝（30t）2＋（40t）2＝50t(km)． ∵s′(t)＝50，∴A、B两车间直线距离的增加速度为50km/h. 答案：50 12．一个边长为12 cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为________． 解析：V＝4x(6－x)2＝4(x3－12x2＋36x)(0 第 3 页
2018-2019数学北师大版选修1-1 第四章 导数应用 单元测试
