选修4—4 极坐标与参数方程
一、伸缩变换
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换?:??x???x(??0) 的作用下，点(??0)??y??yP(x,y)对应P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。
练习
x21?y2?1的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的倍，则曲线的方程变1．将42为 。
2．在平面直角坐标系中，方程x?y?1所对应的图形经过伸缩变换?所对应的方程是 ．
二、极坐标
（一）极坐标系与极坐标
1、极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox一个长度单位及计算
角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O点称为极点，
22?x??2x，后的图形
?y??3yOx称为极轴.
2、极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度?和从Ox到OM的角度?
来刻画.这两个数组成的有序数对(?,?)称为点M的极坐标.?称为极径，?称为极角.
注：①在通常情况下，总认为??0，只在事先说明的情况下，才允许取??0；
①极点O的坐标为：(0,?)(??R) ①点(?,?)与(?,???)关于极点O对称； 点(?,?)与(?,??)关于极轴对称
①点(?,?)，(?,2k???)，(??.2k???)（允许?小于0时）表示同一点.
（二）极坐标与直角坐标的关系
设M为平面上的点，它的直角坐标为(x,y)，极坐标为(?,?)，关系如下：
?x??cos??y??sin???2 ???x2?y2??tan??y(x?0)?x?注：在极坐标系中，???(??0)表示以极点为起点的一条射线；???(??R)表示以极点为起点的一条直线. 练习
1、点M的直角坐标为(?3,?1)化为极坐标为 . 2、极坐标为（1，π）的点M的直角坐标为 . 3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程
（1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin2θ=4cosθ
（3）ρ=4cosθ （4）?cos(x?
（5）??
（7）??2
4、在直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为(x?1)?y?1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是2?sin(??与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
22?3)?1
224? （6） (??R) ??224sin??3cos?3?3)?33，??射线OM：
?3与圆C的交点为O,P，
5、在直角坐标系xOy中，直线C1：x??2，圆C2：(x?1)?(y?2)?1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C1、C2的极坐标方程； （2）若直线C3的极坐标方程为??面积.
三、参数方程 （一）参数方程：
在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x,y表示为第三个变量t的函数
22?4设C2与C3的交点为M,N，求?C2MN的(??R)，
?x?f(t) a?t?b，如果对于t的每一个值（a?t?b），由方程组所确定的点M(x,y)都?y?g(t)?在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x,y)都可由t的某个值通过方程组得到，称方程组就叫做这条曲线的参数方程，其中，变量t称为参数. （二）直线的参数方程
1、直线的标准参数方程：直线l过点M(x0,y0)，倾斜角为?的参数方程为 ??x?x0?tcos?
?y?y0?tsin?推导如下：设直线的点斜式方程为：y?y0?k(x?x0)，其中k?tan?(?? y?y0?tan?(x?x0)
?2)代入得
sin?(x?x0) cos?x?x0y?y0 即， ?cos?sin? y?y0??x?x0?tcos? 令上式的比值为t，整理得?
y?y?tsin?0?2、t的几何意义：表示直线上任一点A到定点M0的距离.
①当点A在M0的上方时，t?0； ①当点A在M0的下方时，t?0； ①当点A与M0重合时，t?0；
3、结论：直线l的参数方程为??x?x0?tcos?(t为参数)，其中M(x0,y0)，A,B为直
y?y?tsin?0?线l上的任一 点，且A,B对应的参数分别为t1,t2 ①A到M0的距离为t1，B到M0的距离为t2 ①A,B两点之间的距离为：AB?t1?t2 ①点A,B中点对应的参数为：
t1?t2 2①M0为A,B中点时：t1?t2?0
2?(t1?t2?0)?t1?t2?(t1?t2)?4t1?t2①M0A?M0B?t1?t2??
(t1?t2?0)??t1?t2 M0A?M0B?t1?t2
4、运用直线l的标准参数方程求弦长和弦的中点坐标（直线l与曲线相交于不同的两点时）： 将直线l的标准参数方程??x?x0?tcos?代入圆锥曲线方程，得到关于t的二次方程，
?y?y0?tsin????0t?t?2得到?t1?t2，所以弦长=t1?t2?(t1?t2)?4t1?t2，弦的中点对应的参数为12代入
2?t?t?12直线直线l的标准参数方程?
5、直线l的一般参数方程：
?x?x0?tcos?中，得到弦的中点坐标.
?y?y0?tsin??x?x0?atb 过点M(x0,y0)，斜率k?的直线参数方程为：? (t为参数)
y?y?bta0?
人教B版 高中数学 选修4-4 极坐标与参数方程 知识点归纳、题型归纳(含答案)
