思考与练习一
?x?e?y2?e?z3和B?e?x?e?y?e?z相互垂直。 1．证明矢量A?e?y5.8?e?z1.5和B??e?y6.93?e?z4，求两矢量的夹角。 2. 已知矢量A?e3. 如果AxBx?AyBy?AzBz?0，证明矢量A和B处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式：
??A?B??B????A??(B??)A?A????B???A???B
1A????A???A2??A???A
2???E?H??H???E?E???H
6．设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：
?f(u)?df?u， ??A?u???u?dA， ??A?u???u?dA，?????A?x,y,z???0。 dududu7．设R?r?r??(x?x?)2?(y?y?)2?(z?z?)2为源点x?到场点x的距离，R的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果，
?R????R?R， ?1????1??R3，??R3?0，??R3?????R3?0 (R?0)（最RRRRRRR后一式在R?0点不成立）。
8. 求???E0sin(k?r)?及???E0sin(k?r)?，其中a,E0为常矢量。
9. 应用高斯定理证明 ?dV??f??ds?f，应用斯克斯（Stokes）定理证明
vs?dS?????dl?。
sL10.证明Gauss积分公式??????ds?????????????2??dv。
sV11.导出在任意正交曲线坐标系中??F?q1,q2,q3?、????F?q1,q2,q3??、
?2f?q1,q2,q3?的表达式。
12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。
思考与练习二
1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环平面外任意点的电场的表达式。
2. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介电常数为?，使介质内均匀带静止自由电荷密度为?f，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。
3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为P(t)???(r?,t)r?dV?，利用电荷守恒定律
V证明P的变化率为dP??dtVJ(r?,t)dV?。
4. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为?，求磁感应强度和磁化电流。
??5. 证明均匀介质内极化电荷密度?p等于自由电荷密度?f的－??1－0?倍。
??? 6. 简述Maxwell方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什么说Maxwell方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。 7. 利用Maxwell方程组，导出电荷守恒定律的表达式。
8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电流之间的异同点。
9. 证明Maxwell方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程组导出电磁场的波动方程。
10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根据介所表现出的质宏观特性进行分类。
11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满足
tan?2?2?，其中?1和?2分别为两种介质的介电常数，?1和?2分别为界面两侧tan?1?1电场线与法线的夹角。
12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验定律。请导出在这一假设前提下的Maxwell方程组表达式。
思考与练习三
1. 利用电场Gauss定律分别求电荷面密度为?s的无穷大导体板和半无穷大导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一差别中得到什么结论。
面电荷密度?s
（a） 无穷大导体薄板 （b）半无穷大导体
2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a和b，将其与电压为V电源相连接，内导体上的电流强度为I。求同轴线内电场和磁场的分布，计算穿过两导体间??常数平面单位长度上的磁通量。 b V 3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。 4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为l1和l2，介电常数为?1和?2，今在两板极接入电动势ε为的电池，求
（1）电容器两板上的自由电荷面密度?f； （2）介质分界面上的自由电荷面密度?f。
若介质是漏电的，电导率分别为?1和?2，当电流达到恒定时，上述两个结果如何？
5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：（1）???（常数）；（2）0
电磁场理论习题解读
