1例6、已知a,b为常数,若ax+b>0的解集是x<,求bx?a<0的解集。
3提示:如何确定a,b的正负性?
例7、解关于x的不等式ax?2>x?3a (a?1)。 例8、解不等式|x?2|+|x+1|<3 提示:去掉绝对值,讨论。
99?n例9、(1)比较两个分数与(n为正整数)的大小;
19?n (2)从上面两个数的大小关系,你发现了什么规律?
99?n99 (3)根据你自己确定的与之间正整数的个数来确定相应的正整数n的个
19?n19数。
10例10(上海1989年初二竞赛题)如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解为x<,
7那么关于x的不等式ax>b的解是多少?
x?5ax?21?1>例11、已知不等式的角是x>?的一部分,试求a的取值范围。 222例12、设整数a,b满足a2+b2+2<ab+3b,求a,b的值。 提示:将原不等式两边同乘以4并整理得
(2a-b)2+3(b-2)2<4 (1),
又因为a,b都是整数。故(2a-b)2+3(b-2)2?3。若(b-2)2?1,则3(b-2)2?3,这不可能。故0? (b-2)2<1,从而b=2.将b=2代入(1)得(a-1)2<1,故(a-1)2=0, a=1.所以a=1,b=2.
第九讲 恒等变形
一、知识要点
1、代数式的恒等:两个代数式,如果对于字母的一切允许值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等。
2、恒等变形:通过变换,将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式,称为恒等变形。 二、例题示范
例1、已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。
例2、已知y=ax5+bx3+cx+d,当x=0时,y=?3;当x=?5时,y=9。当x=5时,求y的值。 提示:整体求值法,利用一个数的奇、偶次方幂的性质。
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例3、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求a:b:c。 提示:用配方法。
注:配方的目的就是为了发现题中的隐含条件,以便利用有关性质来解题.
例4、求证(a2+b2+c2)(m2+n2+k2) ?(am+bn+ck)2=(an?bm)2+(bk?cn)2+cm?ak)2 提示:配方。
例5、求证:2(a?b)(a?c)+2(b?c)(b?a)+2(c?a)(c?b)=(b?c)2+(c?a)2+(a?b)2。 提示:1、两边化简。2、左边配方。
例6、设x+2z=3y,试判断x2?9y2+4z2+4xz的值是不是定值,如果是定值,求出它的值;否则,请说明理由。
例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3,求a2002+b2002+c2002的值。
例8、证明:对于任何四个连续自然数的积与1的和一定是某个整数的平方。 提示:配方。
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例9 、已知a2+b2=1,c2+d2
=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。 提示:根据条件,利用1乘任何数不变进行恒等变形。
例10、(1984年重庆初中竞赛题)设x、y、z为实数,且 (y-z)2
+(x-y)2
+(z-x)2
=(y+z-2x)2
+(z+x-2y)2
+(x+y-2z)2
.
求的值.
例11、设a+b+c=3m,求证:(m-a)3
+(m-b)3
+(m-c)3
-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
第十讲 代数式的值
一、知识要点
求代数式的值的主要方法: 1、利用特殊值;
2、先化简代数式,后代入求值; 3、化简条件后代入代数式求值;
4、同时化简代数式和条件式再代入求值; 5、整体代入法; 6、换元法。 二、例题示范
例1、已知a为有理数,且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+?+a2001的值。 提示:整体代入法。
例2 (迎春杯初中一年级第八届试题)若
例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。
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提示:将条件式变形后代入化简。
例4、当a=?0.2,b=?0.04时,求代数式
722711(a?b)?(a?b?0.16)?(a?b)值。 73724
例5、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3?4x2?8x+1的值。 提示:利用多项式除法及x2+4x?1=0。
例6、(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
例7、已知x,y,z是有理数,且x=8?y,z2=xy?16,求x,y,z的值。 提示:配方,利用几个非负数之和为零,则各个非负数都是零。
例8、已知x,y,z,w满足方程组
??x?y?z?2w??2 ??x?y?2z?w?7x?2y?z?w?5
???2x?y?z?w??5求xyzw的值。
例9、已知a+b+c=3,(a?1)3+(b?1)3+(c?1)3=0,且a=2,求a2+b2+c2的值。 例10 若
求x+y+z的值.
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提示 令
例11(x-3)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,则a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____. 例12、若a,c,d是整数,b是正整数,且a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值。(1991年全国初中联赛题)
第十一讲 直线与线段
一、知识要点 1、直线:(1)直线可向两方无限延伸;(2)过两点有且只有一条直线。 2、射线:
3、线段:直线上两点和它们之间的部分称为线段,线段有两个端点。两点间的所有连线中,线段最短。
4、三角形两边之和大于第三边。 二、例题示范
例1、如图,请用线段a,b,c来表示x。
练习1、线段AB长5cm,在AB上取点C,若AC长x,BC长为y,则y与x的关系式是__________,x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
练习2、线段PC=1cm,延长PC至D,若CD=x,PD=y,则y与x的关系式是______________,x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
例2、在一条直线上,如果给定n个点,那么以它们为端点的线段共有多少条?若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2?,an-1,求所有线段的长度之和。 提示:长度之和S=a1?(n-1) ?1+a2?(n-2) ?2+?+an-1?1?(n-1)
例3、如图,点C、D、E是线段AB的四等分点,点F、G是线段AB的三等侵占为,已知AB=12cm,求CF+DF+EF的长。
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初中数学竞赛辅导讲座19讲全套
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