（1） 记号f(x)，f(a)； （2） 多项式长除法；
（3） 余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a)； （4） 因数定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减
例1、 已知单项式0.25xbyc与单项式?0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。
例2、 已知A=3x2n?8xn+axn+1?bxn-1，B=2xn+1?axn?3x2n+2bxn-1，A?B中xn+1项的系数为3，
xn-1项的系数为?12，求3A?2B。
例3、 已知a?b=5，ab=?1，求(2a+3b?2ab) ?(a+4b+ab) ?(3ab+2b?2a)的值。 提示：先化简，再求值。
例4、 化简： x?2x+3x?4x+5x??+2001x?2002x。
例5、 已知x=2002，化简|4x2?5x+9|?4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉绝对值，再化简求值。
例6、5个数?1, ?2, ?3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。
例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1） 写出第五年的预计产鱼量；
（2） 由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？比
预计产鱼量少多少？
2、整式的乘除
例1、已知f(x)=2x+3，求f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x))。
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例2、计算：(2x+1)?(3x?2)?(6x?4)?(4x+2)
长除法与综合除法：
一个一元多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，存在下列关系：
f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数。当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除。
例3、（1）用竖式计算(x3?3x+4x+5)?(x?2)。 （2）用综合除法计算上例。
（3）记f(x)= x3?3x+4x+5,计算f(2)，并考察f(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。 例4、证明余数定理和因数定理。
证：设多项式f(x)除以所得的商式为q(x)，余数为r，则有 f(x)=(x?b)q(x)+r，将x=b代入等式的两边，得 f(b)=(b?b)q(b)+r，故r=f(b)。
特别地，当r=0时，f(x)= (x?b)q(x)，即f(x)有因式(x?b)，或称f(x)能被 (x?b)整除。
例5、证明多项式f(x)=x4?5x3?7x2+15x?4能被x?1整除。
例6、多项式2x4?3x3+ax2+7x+b能被x2+x?2整除，求a,b的值。
提示：（1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。
例7、若3x3?x=1，求f(x)=9x4+12x3?3x2?7x+2001的值。
3
提示：用长除法，从f(x)中化出3x?x?1。
例8、多项式f(x)除以(x?1)和(x?2)所得的余数分别为3和5，求f(x)除以(x?1)(x?2)所得的余式。 提示：设f(x)=[ (x?1)(x?2)]q(x)+(ax+b)，由f(1)和f(2)的值推出。
例9、试确定a,b的值，使f(x)= 2x4?3x3+ax2+5x+b能被(x+1)( x?2)整除。
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第七讲 乘法公式
一、知识要点 1、乘法公式
平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2 完全平方公式：(a?b)2=a2?2ab+b2 立方和公式：(a+b)(a2?ab+b2)=a3+b3 立方差公式：(a?b)( a2+ab+b2)=a3?b3 2、乘法公式的推广
（1）(a+b)(a?b)=a2?b2的推广
由(a+b)(a?b)=a2?b2, (a?b)( a2+ab+b2)=a3?b3，猜想： (a?b)( )=a4?b4 (a?b)( )=a5?b5 (a?b)( )=an?bn
特别地，当a=1,b=q时，(1?q)( )=1?qn 从而导出等比数列的求和公式。 （2）多项式的平方
由(a?b)2=a2?2ab+b2，推出
(a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( ) 猜想：(a1+a2+?+an)=( )。 当其中出现负号时如何处理？ （3）二项式(a+b)n的展开式
①一个二项式的n次方展开有n+1项；
②字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n；③各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。 二、乘法公式的应用 例1、运用公式计算
(1) (3a+4b)(3a?4b) (2) (3a+4b)2
例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。
（1）(2x?y)2?(2x+y)2 (2)0.01a2?49b2 (3)25(a?2b) ?64(b+2a)
例3、填空
(1) x2+y2?2xy=( )2 (2) x4?2x2y2+y4=( )2 (3) 49m2+14m+1=( )2 (4) 64a2?16a(x+y)+(x+y)2 (5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;
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(6) 已知ax2?6x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;
(7) 已知x2+2(m?3)x+16是完全平方式，则m= .
例4、计算
(1) 200002?19999?20001 (2) 372+26?37+132 (3) 31.52?3?31.5+1.52?100。 提示：（1）19999=20000?1
例5、计算（1） (1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。
（2） (1+3)(1+32)(1+34)(1+38)?(1+32n)。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。 提示：（1）由x3+y3=(x+y)3?3xy(x+y)，x2+y2=(x+y)2?2xy导出； （2）将x+y=10，平方，立方可解。
例7、已知a?1a?3，求a2?111a2，a3?a3，a4?a4的值。
例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3， a4+b4， a7+b7的值。
提示：由(a3+b3)(a4+b4)= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)导出a7+b7的值。
例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值： （1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4
例10、已知a,b,c,d为正有理数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证a=b=c=d。 提示：用配方法。
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例11、已知x,y,z是有理数，且满足x=6?3y,x+3y?2z2=0,求x2y+z的值。
例12、计算19492?19502+19512?19522+?+20012?20022。
第八讲 不等式
一、知识要点
1、不等式的主要性质：
（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向. （4）若A＞B，B＞C，则A＞C； （5）若A＞B，C＞D，则A+B＞C+D； （6）若A＞B，C＜D，则A?C＞B?D。 2、比较两个数的大小的常用方法： （1） 比差法：若A?B＞0，则A＞B；
A（2） 比商法：若＞1，当A、B同正时， A＞B；A、B同负时，A＜B；
B11（3） 倒数法：若A、B同号，且＞，则＜AB。
AB3、一元一次不等式：
（1） 基本形式：ax＞b (a?0); （2） 一元一次不等式的解：
bb当a＞0时，x＞,当a＜0时，x＜.
aa二、例题示范
例1、已知a＜0,?1＜b＜0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何？
2?x2x?1?例2、满足的x中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？ 23例3、一个一元一次不等式组的解是2?x?3，试写出两个这样的不等式组。
例4、若x+y+z=30,3+y?z=50,x,y,z均为非负数，求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。 提示：将y,z用x表示，利用x,y,z非负，转化为解关于x的不等式组。
例5、设a,b,c是不全相等的实数，那么a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系如何？
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初中数学竞赛辅导讲座19讲全套
