复习课(二) 统计——查漏补缺 巩固提高
考点一 抽样方法的选取及应用
应用抽样方法抽取样本时,应注意以下几点
(1)用随机数法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当问题所给位数不相等时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数.
(2)用系统抽样法抽样时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为k=,如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为k=
NnN?N??N?.??表示取的整数部分? ??n???n????n??
(3)几种抽样方法的适用范围:当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用抽签法;
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当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数表法;当总体容量较大,样本容量也较大时,可采用系统抽样;当总体中个体差异较显著时,可采用分层抽样.
【典例1】 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.
(1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样; (2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样; (3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个入样; (4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样.
[解] (1)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样法.
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第一步,确定抽取个数.因为=,所以甲厂生产的篮球应抽取21×=7(个),乙厂
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生产的篮球应抽取9×=3(个);
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第二步,用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(2)总体容量较小,用抽签法.
第一步,将30个篮球用随机方式分段,分段为1,2,…,30;
第二步,将以上30个分段分别写在大小、形状相同的小纸条上,揉成小球,制成号签; 第三步,把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀;
第四步,从袋子中逐个不放回抽取3个号签,并记录上面的号码;
第五步,找出和所得号码对应的篮球,这些篮球便组成了我们要抽取的样本. (3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数表法.
第一步,将300个篮球用随机方式分段,分段为001,002,…,300;
第二步,在随机数表中随机的确定一个数作为开始,如第8行第29列的数“7”开始,任选一个方向作为读数方向,比如向右读;
第三步,从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在001~300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体的号码,找出和所得号码对应的篮球便组成我们要抽取的样本.
(4)总体容量较大,样本容量也较大宜用系统抽样法.
第一步,将300个篮球用随机方式分段,分段为000,001,002,…,299,并分成30段. 第二步,在第一段000,001,002,…,009这十个分段中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为始号码;
第三步,将分段为002,012,022,…,292的个体抽出,组成样本.
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一般地,在简单随机抽样中,常常使用抽签或随机数表法,近年来,有关分层抽样的计算成为高考命题的热点.
[针对训练]
1.某高级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人.现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一分段为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机分段为1,2,…,270,并将整个分段依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
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[解析] 按分层抽样时,在一年级抽取108×=4(人),在二年级、三年级各抽取
27010
81×=3(人),则在号码段1,2,…,108中抽取4个号码,在号码段109,110,…,189
270中抽取3个号码,在号码段190,191,…,270中抽取3个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样,排除B;按系统抽样时,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样,②④都不能为系统抽样,排除A、C,故选D.
[答案] D
考点二 用样本的频率分布估计总体分布
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1就可求出其他数据.
(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解. 【典例2】 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单
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位:cm): 区间界限 人数 区间界限 人数 [122,126) 5 [142,146) 20 [126,130) 8 [146,150) 11 [130,134) 10 [150,154) 6 [134,138) 22 [154,158] 5 [138,142) 33 (1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数). (2)画出频率分布直方图.
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比. [解] (1)列出样本频率分布表:
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 合计 (2)画出频率分布直方图,如图所示. 频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1.00
(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为 5+8+1023
=≈0.19. 120120
所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.
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画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.
[针对训练]
2.如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
[解析] 前3组的频率之和等于1-(0.0125+0.0375)×5=0.75,第2小组的频率是210
0.75×=0.25,设样本容量为n,则=0.25,则n=40.故选C.
1+2+3n[答案] C
考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征可分为两大类,一类反映样本数据的集中趋势,包括样本平均数、众数、中位数;另一类反映样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.通常,我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点.
【典例3】 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次射靶成绩(单位:环)如图所示:
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新人教A版必修32020学年高中数学第2章统计复习课 - 查漏补缺巩固提高学案
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