第四节 数列求和
课时作业 A组——基础对点练
1.数列{1+2
nn-1
}的前n项和为( )
B.2+2 D.n+2+2
n-1
nnA.1+2 C.n+2-1
解析:由题意得an=1+2
nn,
1-2n所以Sn=n+=n+2-1.
1-2答案:C
2.(2018·长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an=(-1)·(3n-2),则a1+a2+…+a10等于( ) A.15 C.-12
nnB.12 D.-15
解析:∵an=(-1)(3n-2),∴a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15. 答案:A
3.在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为( ) A.100 C.120
B.110 D.130
解析:{an+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×2=120,故选C. 答案:C
4.已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项,若bn=9A. 11C.1
1
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10=( )
10B. 1112D. 11
解析:对数函数y=logax的图象过定点(1,0),∴函数y=loga(x-1)+3的图象过定点(2,3),则a2=2,a3=3,故an=n,∴bn=
11111111
=-,∴T10=1-+-+…+-=1-anan+1nn+12231011111
1
10
=,故选B. 11答案:B
113n5.+++…+n的值为__________. 2282123n解析:设Sn=+2+3+…+n,①
2222112n-1n得Sn=2+3+…+n+n+1,② 22222①-②得,
11111nSn=+2+3+…+n-n+1 2222221??1?n??1-???2??2??n=-n+1,
121-22∴Sn=
n+1
-n-2n+2
=2-n. n22
答案:2-
n+2
2
n n*
6.(2018·山西四校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2(n∈N),则S2 016=________. 解析:∵数列{an}满足a1=1,an+1·an=2 ①,∴n=1时,a2=2,n≥2时,an·an-1=2
-1
nn1 008
an+11-2
②,∵①÷②得=2,∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列,∴S2 016=
an-11-2
+
-2
1-2
1 008
=3×2-3
1 008
-3.
答案:3×2
1 008
7.数列{an}满足an+1+(-1)an=2n-1,则{an}的前60项和为________. 解析:当n=2k(k∈N)时,a2k+1+a2k=4k-1, 当n=2k-1(k∈N)时,a2k-a2k-1=4k-3, ∴a2k+1+a2k-1=2, ∴a2k+3+a2k+1=2, ∴a2k-1=a2k+3, ∴a1=a5=…=a61.
∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=
+2
答案:1 830
2
*
*
n=30×61=1 830.
8.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)2(1)求数列{an}的通项公式;
n+1
+2,n∈N.
*
13*
(2)若bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求证:对任意的n∈N,Tn<.
log2an·log2an+24解析:(1)当n>1时,
a1+2a2+…+nan=(n-1)2n+1+2, ① a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2, ②
①-②得nan=(n-1)2所以an=2,n>1. 当n=1时,a1=2, 所以an=2,n∈N.
11n(2)证明:因为an=2,所以bn==log2an·log2an+2nn+
111=(-). 2nn+2
n*
n+1
-(n-2)2=n·2,
nnn11111111111111
因此Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)
232242352n-1n+12nn+21111
=(1+--) 22n+1n+231113=-(+)<, 42n+1n+243*
所以,对任意的n∈N,Tn<.
4
9.(2018·河南八市质检)已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=
na2n-1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
?a1q=64?
由题意,得?342
??a1q+a1q=6a1q,
5
解得?
?a1=2???q=2
,
所以an=2. (2)因为bn=
nna2n-12
=
n2n-1,
1234n所以Tn=+3+5+7+…+2n-1,
222221123n-1nTn=3+5+7+…+2n-1+2n+1, 422222
3
311111n所以Tn=+3+5+7+…+2n-1-2n+1=4222222816+12n84+3n故Tn=-2n+1=-2n-1. 99×299×2
1
2
1-n411-
4
-
n2
2n+124+3n=-2n+1, 33×2
B组——能力提升练
2-1321
1.(2018·皖西七校联考)在数列{an}中,an=n,若{an}的前n项和Sn=,则n=( )
264A.3 C.5
B.4 D.6
nn1?2-11?11?1?则S=321=n-?1-1n?,
解析:由an=n=1-n得Sn=n-?+2+…+n?=n-?1-n?,n?2?2?2264?22?2???
将各选项中的值代入验证得n=6. 答案:D
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2 017的值为( ) A.2 017 C.1 009
B.2 016 D.1 007
解析:因为an+2Sn-1=n,n≥2,所以an+1+2Sn=n+1,n≥1,两式相减得an+1+an=1,n≥2.又a1=1,所以S2 017=a1+(a2+a3)+…+(a2 016+a2 017)=1 009,故选C. 答案:C
3.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2,则数列{an}的前2 016项和S2 016=( ) A.2C.2
2 017
n-2
nB.2D.2
n-1
2 017
-1 +1
n-2
2 0172 017
解析:由题意知an+1-an=2,则an-an-1=2=2,累加求和得an-a1=2
nn-1
,an-1-an-2=2
-2
1-2-21-2
2 016
,…,a3-a2=2,a2-a1
2
n-1
+2
n-2
+…+2+2=
2
=2-2,n≥2,又a1=2,所=2
2 017
n以an=2,则数列{ an}的前2 016项和S2 016=答案:A
-2.
5
4.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S1,S2,S4成等比数列,且a3=-,则2数列?
??
1n+
?
?的前n项和Tn=( ) an?
A.- 2n+1
nB. 2n+1
n 4
2nC.- 2n+12nD. 2n+1
解析:设{an}的公差为d,因为S1=a1,S2=2a1+d=2a1+
a3-a13
25
=a1-,S4=3a3+a1=a1
24
5?2?15?15?32
-,S1,S2,S4成等比数列,所以?a1-?=?a1-?a1,整理得4a1+12a1+5=0,所以
4??2?2?25151a3-a1
a1=-或a1=-.当a1=-时,公差d=0不符合题意,舍去;当a1=-时,公差d=
2
2
2
2
2
111
=-1,所以an=-+(n-1)×(-1)=-n+=-(2n-1),所以
222
2
1
n+
=-
ann-n+
=-?
?1-1?,所以其前
?
?2n-12n+1?
n项和Tn=-
?1-1+1-1+…+1-1?=-?1-1?=-2n,故选C. ?335??2n+1?2n-12n+1?2n+1???
答案:C
112
5.已知数列{an}满足an+1=+an-an,且a1=,则该数列的前2 016项的和等于
22__________.
1112解析:因为a1=,又an+1=+an-an,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=
2221??,n=2k-k∈N*,
?2??1,n=2kk∈N*,答案:1 512
2nπ6.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),且bn=ancos ,记Sn为数列{bn}的
3前n项和,则S120=________. 解析:由nan+1=(n+1)an+n(n+1)得
?1?故数列的前2 016项的和等于S2 016=1 008×?1+?=1 512.
?2?
an+1anan=+1,所以数列{}是以1为公差的等差数列,n+1nna1an2nπ22
且=1,所以=n,即an=n,所以bn=ncos ,所以 1n3S120=-×12-×22+32-×42-×52+62-…+1202
12222222=-(1+2-2×3+4+5-2×6+…-2×120)
2
122222222
=- [(1+2+3+…+120)-3×(3+6+9+…+120)]
2112222222=×3×9×(1+2+…+40)-×(1+2+3+…+120) 22
5
1
2121212
2019届高考数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列求和课时作业
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