第四节 数列求和
课时作业 A组——基础对点练
1．数列{1＋2
nn－1
}的前n项和为( )
B．2＋2 D．n＋2＋2
n－1
nnA．1＋2 C．n＋2－1
解析：由题意得an＝1＋2
nn，
1－2n所以Sn＝n＋＝n＋2－1.
1－2答案：C
2．(2018·长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( ) A．15 C．－12
nnB．12 D．－15
解析：∵an＝(－1)(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：A
3．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( ) A．100 C．120
B．110 D．130
解析：{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120，故选C. 答案：C
4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝9A. 11C．1
1
anan＋1
，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝( )
10B． 1112D． 11
解析：对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)，∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝
11111111
＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－anan＋1nn＋12231011111
1
10
＝，故选B. 11答案：B
113n5.＋＋＋…＋n的值为__________． 2282123n解析：设Sn＝＋2＋3＋…＋n，①
2222112n－1n得Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，② 22222①－②得，
11111nSn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1 2222221??1?n??1－???2??2??n＝－n＋1，
121－22∴Sn＝
n＋1
－n－2n＋2
＝2－n. n22
答案：2－
n＋2
2
n n*
6．(2018·山西四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2(n∈N)，则S2 016＝________. 解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2 ①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2
－1
nn1 008
an＋11－2
②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝
an－11－2
＋
－2
1－2
1 008
＝3×2－3
1 008
－3.
答案：3×2
1 008
7．数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为________． 解析：当n＝2k(k∈N)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1(k∈N)时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2， ∴a2k＋3＋a2k＋1＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3， ∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝
＋2
答案：1 830
2
*
*
n＝30×61＝1 830.
8．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2(1)求数列{an}的通项公式；
n＋1
＋2，n∈N.
*
13*
(2)若bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：对任意的n∈N，Tn＜.
log2an·log2an＋24解析：(1)当n＞1时，
a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2， ① a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2， ②
①－②得nan＝(n－1)2所以an＝2，n＞1. 当n＝1时，a1＝2， 所以an＝2，n∈N.
11n(2)证明：因为an＝2，所以bn＝＝log2an·log2an＋2nn＋
111＝(－)． 2nn＋2
n*
n＋1
－(n－2)2＝n·2，
nnn11111111111111
因此Tn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)
232242352n－1n＋12nn＋21111
＝(1＋－－) 22n＋1n＋231113＝－(＋)＜， 42n＋1n＋243*
所以，对任意的n∈N，Tn＜.
4
9．(2018·河南八市质检)已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
na2n－1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
?a1q＝64?
由题意，得?342
??a1q＋a1q＝6a1q，
5
解得?
?a1＝2???q＝2
，
所以an＝2. (2)因为bn＝
nna2n－12
＝
n2n－1，
1234n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1，
222221123n－1nTn＝3＋5＋7＋…＋2n－1＋2n＋1， 422222
3
311111n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1－2n＋1＝4222222816＋12n84＋3n故Tn＝－2n＋1＝－2n－1. 99×299×2
1
2
1－n411－
4
－
n2
2n＋124＋3n＝－2n＋1， 33×2
B组——能力提升练
2－1321
1．(2018·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝n，若{an}的前n项和Sn＝，则n＝( )
264A．3 C．5
B．4 D．6
nn1?2－11?11?1?则S＝321＝n－?1－1n?，
解析：由an＝n＝1－n得Sn＝n－?＋2＋…＋n?＝n－?1－n?，n?2?2?2264?22?2???
将各选项中的值代入验证得n＝6. 答案：D
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为( ) A．2 017 C．1 009
B．2 016 D．1 007
解析：因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故选C. 答案：C
3．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前2 016项和S2 016＝( ) A．2C．2
2 017
n－2
nB．2D．2
n－1
2 017
－1 ＋1
n－2
2 0172 017
解析：由题意知an＋1－an＝2，则an－an－1＝2＝2，累加求和得an－a1＝2
nn－1
，an－1－an－2＝2
－2
1－2－21－2
2 016
，…，a3－a2＝2，a2－a1
2
n－1
＋2
n－2
＋…＋2＋2＝
2
＝2－2，n≥2，又a1＝2，所＝2
2 017
n以an＝2，则数列{ an}的前2 016项和S2 016＝答案：A
－2.
5
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，则2数列?
??
1n＋
?
?的前n项和Tn＝( ) an?
A．－ 2n＋1
nB． 2n＋1
n 4
2nC．－ 2n＋12nD． 2n＋1
解析：设{an}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋
a3－a13
25
＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1
24
5?2?15?15?32
－，S1，S2，S4成等比数列，所以?a1－?＝?a1－?a1，整理得4a1＋12a1＋5＝0，所以
4??2?2?25151a3－a1
a1＝－或a1＝－.当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；当a1＝－时，公差d＝
2
2
2
2
2
111
＝－1，所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以
222
2
1
n＋
＝－
ann－n＋
＝－?
?1－1?，所以其前
?
?2n－12n＋1?
n项和Tn＝－
?1－1＋1－1＋…＋1－1?＝－?1－1?＝－2n，故选C. ?335??2n＋1?2n－12n＋1?2n＋1???
答案：C
112
5．已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列的前2 016项的和等于
22__________．
1112解析：因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝
2221??，n＝2k－k∈N*，
?2??1，n＝2kk∈N*，答案：1 512
2nπ6．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancos ，记Sn为数列{bn}的
3前n项和，则S120＝________. 解析：由nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)得
?1?故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×?1＋?＝1 512.
?2?
an＋1anan＝＋1，所以数列{}是以1为公差的等差数列，n＋1nna1an2nπ22
且＝1，所以＝n，即an＝n，所以bn＝ncos ，所以 1n3S120＝－×12－×22＋32－×42－×52＋62－…＋1202
12222222＝－(1＋2－2×3＋4＋5－2×6＋…－2×120)
2
122222222
＝－ [(1＋2＋3＋…＋120)－3×(3＋6＋9＋…＋120)]
2112222222＝×3×9×(1＋2＋…＋40)－×(1＋2＋3＋…＋120) 22
5
1
2121212
2019届高考数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列求和课时作业
