高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)（c?0）的准线l与x轴相交于点A，OF?2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；
（3）设AP??AQ（??1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证
明FM???FQ. (14分)
2． 已知函数f(x)对任意实数x都有f(x?1)?f(x)?1，且当x?[0,2]时，f(x)?|x?1|。 （1） x?[2k,2k?2](k?Z)时，求f(x)的表达式。 （2） 证明f(x)是偶函数。 （3） 试问方程f(x)?log4
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x?(y?3)?1。 （1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求10点P的坐标及S的最小值。 8
y 6
4 C2
F
x-15-10-55 OX-2
-4
4.以椭圆
221?0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有x实数根，请说明理由。
1015x?y2＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试-82a-102-6判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.
6 已知过函数f（x）=x?ax?1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3） 令g?x???f?x??3x?tx?1。是否存在一个实数t，使得当x?(0,1]时，g（x）有
232最大值1？
7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱PH︱是2和PM?PN的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方
程。 8．已知数列{an}满足a1?3a(a?0),an?1 （1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与
2an?a2a?a ?,设bn?n2anan?a??7的大小，并证明你的结论. 89．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引?F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
10. f(x)对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?（Ⅰ）求f()和f()?f(1. 2n?1) (n?N)的值． n12n?1)?f(1)，数列?an?是（Ⅱ）数列?an?满足：an=f(0)+f()?f()????f(nnn等差数列吗？请给予证明；
121n（Ⅲ）令bn?44an?1222,Tn?b12?b2?b3????bn,Sn?32?16. ny A 试比较Tn与Sn的大小．
11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，→·→＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的且OAOB轨迹.(13分)
9
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋2)的定义域为R
m－3
O P x B (1)求实数m的取值集合M；
(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为?,?(???),函数f(x)= (1). 求f(?)和f(?)的值。
（2）。证明：f(x)在[?,?]上是增函数。 （3）。对任意正数x1、x2,求证：f(4x?t. 2x?1x1??x2?x??x2?)?f(1)?2???
x1?x2x1?x2*14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的n?N，都有4Sn??an?1?. I、求数列?an?的通项公式.
n*II、若2?tSn对于任意的n?N恒成立，求实数t的最大值.
2
15.( 12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，
3MQ， 2（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
且满足HP·PM=0，PM=－16.（14分）设f1(x)=
f(0)?12,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=n,其中n∈N*.
fn(0)?21?x(1) 求数列｛an｝的通项公式；
4n2?n(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=2,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.
4n?4n?1
17． 已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）?（a–3b）．
（I） 求点?（x，y）的轨迹C的方程；
（II） 若直线L：y=kx+m(m?0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，
试求m的取值范围．
18．已知函数f(x)对任意实数p、q都满足f(p?q)?f(p)?f(q),且f(1)?.
（1）当n?N?时，求f(n)的表达式； （2）设an?nf(n)??????13
3(n?N?),求证：?ak?;
4k?1(n?N?),Sn??bk,试比较?k?1nn
nf(n?1)（3）设bn?f(n)1与6的大小． Sk?1kn19．已知函数f(x)?logax(a?0且a?1),若数列：2,f(a1),f(a2),…，
f(an),2n?4(n?N?)成等差数列.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）若0?a?1,数列{an}的前n项和为Sn，求limSn；
n??? （3）若a?2,令bn?an?f(an)，对任意n?N,都有bn?f?1(t),求实数t的取值范围.
20．已知△OFQ的面积为26,且OF?FQ?m.
（1）设6?m?46,求向量OF与FQ的夹角?正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|OF|?c,m?(当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动
点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
6?1)c2， 4
历年高考数学压轴题集锦
