[真题]2024年怀化市中考数学试卷及答案解析（word版）

由天下分享时间：2025/1/5 3:23:13 加入收藏我要投稿点赞

（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．

【分析】（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；

（2）作出相应的图形，如图所示；

（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．

【解答】解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；

（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°，

∵AB为圆O的直径，点F在圆O上， ∴∠AFB=90°， ∴∠FAG+∠FGA=90°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠FAG=∠EAB， ∴∠AGF=∠ABE，

∴sin∠ABE=sin∠AGF==∵AE=4， ∴AB=5，

则圆O的半径为2.5．

，

24．（14.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即

可得到点M的坐标；

（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直

线PC的解析式为y=﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点

A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

，解得

，