2011 年全国硕士研究生入学考试数学一试题与解析
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1、 曲线 y ? x(x ?1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4)的拐点是（ ）
2
3
4
A （1，0）
B （2，0）
C （3 ，0）
D （4，0）
??
2、设数列?an ?单调减少，且lim a 。Sn ? n ? 0 n???域为（ ） A （?1 1]
n
?ai?1
i
无界，则幂级数
?an?1
n
(x ?1)n 的收敛
B [?1 1) C [0 2) D (0 2]
3、 设函数 f (x) 具有二阶连续的导数，且 f (x) ? 0 . f ?(0) ? 0 。则函数 z ? ln f (x) f ( y) 在
点(0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
A
f (0) ? 1 f ? (0) ? 0 f (0) ? 1 f ? (0) ? 0
??B D ??4 0
f (0) ? 1 f ? (0) ? 0 f (0) ? 1 f ? (0) ? 0
??4 0
C
4、设 I ? ln sin xdx
??
4
0 J ? t dx ??ln c o x
K ? ??ln c o sxdx ， 则 I J K 的大小
关系是（ ）
A I ? J ? K B I ? K ? J C J ? I ? K D K ? J ? I
5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第 3 行得
? 1 0 0??? 1 0 0??? ??? ??
到单位阵 E，记 P1 ? ? 1 1 0? ， P2 ? ? 0 0 1? ，则 A=（
? ? ????0 0 1 ? ? ? 0 1 0 ??
?
）
A P P
1 2 B P P
1 ?1C
*
2 P P D
2 1 P P
2 1
?1 6、设 A ? (? ? 3 ? 4 ) 是 4 阶矩阵， A为 A 的伴随矩阵。若(1,0,1,0)是 Ax ? 0 的一个1 ? 2 基础解系，则 A* x ? 0 的基础解系可为（ A
） C
T
?1 ?3
B
?1 ? 2 ?1 ? 2 ?3
D
? 2 ?3 ? 4
7、设 F1 (x) F2 (x) 为两个分布函数，且连续函数 f1 (x)
f 2 (x) 为相应的概率密度，则必
为概率密度的是（ A
）
C f1 (x) f 2 (x) B 2 f 2 (x)F1 (x) f1 (x)F2 (x) D f1 (x)F2 (x) + f 2 (x)F1 (x)
8、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记U ? max?X ,Y ?V ? min ?X ,Y ?，则
EUV ? （ ） A EU ? EV B
9、曲线 y ?
C EU ? EY D EX ? EV
二、填空题：9—14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。
EX ? EY
?x 0tan tdt (0 ? x ? ) 的弧长为 4
x ??
10、微分方程 y? ? y ? e cos x 满足条件 y(0) ? 0 的解为
xy 11、设函数 F (x, y) ?
?0
? 2 F
dt ，则 2|x?0 ? _________ ___ 2 1 ? t ?x y ?2 sin t
12、设 L 是柱面方程 x 2 ? y 2 ? 1与平面 z ? x ? y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆
时针方向，则曲线积分
?L
y 2
xzdx ? xdy ??dz ? _________
2
2
2
2
13 、 若 二 次 曲 面 的 方 程 x? 3y ? z ? 2axy ? 2xz ? 2 yz ? 4 ， 经 正 交 变 换 化 为
y ? y ? 4 ，则a ? 1 2
2 2 2
2
2
14、设二维随机变量( X ,Y ) ~ N (?, ?,? ,? ,0) ，则 E( XY ) ? ____________ 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
ln(1 ? x) e ?1
15、（本题满分 10 分） 求极限lim ( )
x?0 x
1
x
16、（本题满分 9 分）
设函数 z ? f (xy, yg(x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数，函数 g(x) 可导且在 x ? 1处取得
? 2 z
极值 g(1) ? 1.求
|x?1
?x?y y ?1
17、（本题满分 10 分）
求方程k arctan x ? x ? 0 的不同实根的个数，其中k 为参数。
18、（本题满分 10 分） ①证明：对任意的正整数n ，都有 1 1 ? ln(1 ? ) ? 成立； n ? 1 n n
1
1 1 ? 1 ? ? ............ ? ? ln n (n ? 1,2......)，证明数列?a ?收敛. ②设a n n2 n
19、（本题满分 11 分）
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续的偏导数，且 f (1, y) ??f (x,1) ? 0, 中 D ? ?(x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1?计算二重积分20、（本题满分 11 分）
xy
?? f (x, y)dxdy ? a ，其
D
?? xyf ??(x, y)dxdy
D
T
T
， ?3 ? (1,3,5)T 不 能 由 向 量 组 1 ? ? (1,1,1)，
设向量组 ? ? (0,1,1)1 (1,0,1)， ? ?2
T
? 2 ? (1,2,3)T ， ? ? (3,4, a)T 线性表示； 3
（1） 求 a 的值；
（2） 将 ?1 , ?2 , ?3 用?1 ,? 2 ,?3 线性表示； 21、（本题满分 11 分）
? 1 1??? ? 1 1??? ??? ??
A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且A? 0 0? ? ? 0 0??
? ? ? ??-1 1 1 1 ??? ? ??
求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵 A
22、（本题满分 11 分）
设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为
X 0 1 P 1 3 2 3 Y -1 0 1 P 且 PX ? Y
1 3 2
1 3 1 3 ?
2
?? 1
求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） Z ? XY 的概率分布 （3）X 与 Y 的相关系数 ? XY 23、（本题满分 11 分）
设 X 1 , X ? X ? 2 ? 0 未知. ? 2 ) 的简单随机样本，其中 ? 已知，2 n 是来自正态总体 N(? ,0 0
X , S 2 为样本均值和样本方差.
2011年考研数学一真题
