第3讲 平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理 1．向量的夹角
→→
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°. 2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，定义 记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， 投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 [注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 |a|＝a·a a·bcos θ＝ |a||b|2|a|＝x21＋y1 cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1x2＋y2 a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 常用结论
(1)两向量a与b为锐角?a·b＞0且a与b不共线． (2)两向量a与b为钝角?a·b＜0且a与b不共线． (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (5)a与b同向时，a·b＝|a||b|. (6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 二、习题改编
(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( A．12 B．6 C．33
D．3
解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－122，所以|b|＝－122
＝4×?2
6.
?－2??
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是??0，π
2??.( ) (6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
) ) 二、易错纠偏
常见误区(1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
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1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA·AC的值为 ．
AC2＋AB2－BC222＋32－（10）21解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝.所以
42×AC×AB2×2×313→→→→→→
BA·AC＝|BA||AC|cos(π－A)＝－|BA||AC|·cos A＝－3×2×＝－.
42
3
答案：－
2
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为 ．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2
π
3．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝ ．
3π1
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1
32λ
－＝0，所以λ＝2. 2
答案：2
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)(2024·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，
→→
∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝ ．
→→
【解析】 法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD·AE＝→→→→→→→→→2→→(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB－AB·BE＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.
2024版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第五章 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 Word版含答
