第九节 函数与方程
[最新考纲] 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
(对应学生用书第33页)
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2．二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系
2
二次函数 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 零点个数 [常用结论] 有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
( )
(x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
( )
- 1 -
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
2
2
( ) ( )
(4)二次函数y＝ax＋bx＋c在b－4ac＜0时没有零点． [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 24.5 5 －36.7 6 －123.6 y 124.4 33 －74 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A．2个 C．4个
B．3个 D．5个
B [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( ) A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
C [由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，
∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]
3．函数f(x)＝e＋3x的零点个数是________．
1x1 [由已知得f′(x)＝e＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)
e＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]
x - 2 -
?1?4．函数f(x)＝x－??的零点个数为________． ?2??1?1 [作函数y1＝x和y2＝??的图像如图所示． ?2?
由图像知函数f(x)有1个零点．]
12
12
xx
(对应学生用书第33页)
⊙考点1 函数零点所在区间的判定
判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程； (2)零点存在性定理；
(3)数形结合法，画出相应函数图像，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断．
2
1.函数f(x)＝ln x－2的零点所在的区间为( )
xA．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
1
B [由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e＞0，
2所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A [∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点； 又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]
?kk＋1?(k∈Z)内，那么k＝________.
3．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在?，
2??2?
- 3 -
1?5?5 [∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f??＝x?2?5?5?ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在?，3?内，则整数k＝5.]
2?2?
(1)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条
件．
(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)＜0?函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．
⊙考点2 函数零点个数的判断
求函数零点个数的基本解法
(1)直接法，令f(x)＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点； (2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图像法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数．
(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 C．4
??ln x－x＋2x，x＞0，(2)函数f(x)＝?
?2x＋1，x≤0?
2
B．3 D．5
的零点个数为( )
A．0 C．2
B．1 D．3
x(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝e＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
(1)B (2)D (3)C [(1)由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.
(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x－2x的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．
- 4 -
2
当x＞0时，令f(x)＝e＋x－3＝0，则e＝－x＋3，分别画出函数y＝e和y＝－x＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]
(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图像在区间[a，b]上是连续不
断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
1.函数f(x)＝2|log0.5 x|－1的零点个数为( )
A．1 C．3
B [令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，
xxxxxB．2 D．4
?1?可得|log0.5x|＝??.
?2?
?1?设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??. ?2?
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]
??－2，x＞0，
2．已知函数f(x)＝?2
??－x＋bx＋c，x≤0，
xx
若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝
f(x)＋x的零点个数为________．
??c＝－2，
3 [依题意得?
?－1－b＋c＝1，?
??b＝－4，
由此解得?
?c＝－2.?
由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，
??x＞0，
该方程等价于?
?－2＋x＝0，???x≤0，
或?2
?－x－4x－2＋x＝0.?
①
②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.] ⊙考点3 函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
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2021高考数学一轮复习第2章函数第9节函数与方程教学案文
