三角形内角和定理及其推论的应用
本文将三角形内角和定理及其三个推论在解题中的应用介绍如下．供初二学生参考．
一、要点归纳
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 推论1 直角三角形的两个锐角互余．
推论2 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3 三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 二、应用举例
例1 △ABC中，如果∠A+∠B=2∠C，∠A≠∠B，则∠C= 60°． (1998年江苏连云港市中考试题)
解：∠A+∠B+∠C=180°(定理)，又∠A+∠B=2∠C，故3∠C=180°． 因而∠C=60°．
例2 如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点．过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F．求证 ：AE=AF．
(1997年上海市中考试题) 证明：∵FD⊥BC于D，
∴∠B+∠F=90°．∠C+∠1=90°(推论1)． ∵AB=AC．
∴∠B=∠C(等边对等角)， ∴∠F=∠1(等角的余角相等)． 又∵∠1=∠2(对顶角相等)， ∠2=∠F(等量代换)． AE=AF(等角对等边)．
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例3 如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED等于_______． (1998年山东省中考试题)
解：如图，延长BE和CD交于F，则∠BED=∠F+∠EDF(推论2)．
∵∠CDE+∠EDF=180°(平角定义)，∠CDE=152°， ∴∠EDF=28°． ∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠F=180°(两线平行，同旁内角互补)． 又∠ABE=130°，故∠F=50°． ∴∠BED=28°+50°=78°．
例4 如图，已知P是△ABC中任意一点．求证：∠BPC＞∠A．
证明：延长CP交A B于D，则∠BPC＞∠1(推论3)． 又∠1＞∠A(推论3)，
∴∠BPC＞∠A(不等式的性质)，
例5 如图，△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，α＜β．AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE相交于O，从O点作OG⊥BC，G为垂足，则∠DOG= [ ]
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解：连结OC
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴OC也平分∠ACB．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(定理)， ∴∠BAC=180°-α-β
又∠ADG是△ABD的外角， ∴∠ODG=∠BAD+∠ABD
∵OG⊥BC，△OGD是直角三角形， ∴∠DOG+∠ODG=90°(推论1)． ∴∠DOG=90°-∠ODG；
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三角形内角和定理及其推论的应用
