三角形内角和定理及其推论的应用
本文将三角形内角和定理及其三个推论在解题中的应用介绍如下.供初二学生参考.
一、要点归纳
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 推论1 直角三角形的两个锐角互余.
推论2 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论3 三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 二、应用举例
例1 △ABC中,如果∠A+∠B=2∠C,∠A≠∠B,则∠C= 60°. (1998年江苏连云港市中考试题)
解:∠A+∠B+∠C=180°(定理),又∠A+∠B=2∠C,故3∠C=180°. 因而∠C=60°.
例2 如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.过D作DF⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F.求证 :AE=AF.
(1997年上海市中考试题) 证明:∵FD⊥BC于D,
∴∠B+∠F=90°.∠C+∠1=90°(推论1). ∵AB=AC.
∴∠B=∠C(等边对等角), ∴∠F=∠1(等角的余角相等). 又∵∠1=∠2(对顶角相等), ∠2=∠F(等量代换). AE=AF(等角对等边).
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例3 如图,AB∥CD,若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED等于_______. (1998年山东省中考试题)
解:如图,延长BE和CD交于F,则∠BED=∠F+∠EDF(推论2).
∵∠CDE+∠EDF=180°(平角定义),∠CDE=152°, ∴∠EDF=28°. ∵AB∥CD,
∴∠ABE+∠F=180°(两线平行,同旁内角互补). 又∠ABE=130°,故∠F=50°. ∴∠BED=28°+50°=78°.
例4 如图,已知P是△ABC中任意一点.求证:∠BPC>∠A.
证明:延长CP交A B于D,则∠BPC>∠1(推论3). 又∠1>∠A(推论3),
∴∠BPC>∠A(不等式的性质),
例5 如图,△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,α<β.AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线,且AD、BE相交于O,从O点作OG⊥BC,G为垂足,则∠DOG= [ ]
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解:连结OC
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC, ∴OC也平分∠ACB.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(定理), ∴∠BAC=180°-α-β
又∠ADG是△ABD的外角, ∴∠ODG=∠BAD+∠ABD
∵OG⊥BC,△OGD是直角三角形, ∴∠DOG+∠ODG=90°(推论1). ∴∠DOG=90°-∠ODG;
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三角形内角和定理及其推论的应用
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