第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，一般以选择题或填空题的形式进行考查．对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题．对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值域、最值问题．
函数与映射 1．函数． (1)函数的概念．
函数实质上是从非空数集A到非空数集B的一个特殊映射，记作y＝f(x)，x∈A，其中
x的取值范围A叫做这个函数的定义域，f(x)的集合C叫函数的值域，B与C的关系是C?B，
我们将f，A，C叫做函数的三要素，但要注意，函数定义中A，B是两个非空数集，而映射中两个集合A，B是任意的非空集合．
(2)函数的表示方法．
函数表示方法有图象法、列表法、解析法． 2．映射．
映射A→B中两集合的元素的关系是一对一或多对一，但不可一对多，且集合B中元素可以没有对应元素，但A中元素在B中必须有唯一确定的对应元素．
函数的性质
1．函数的单调性与最值． (1)单调性．
对于定义域内某一区间D内任意的x1，x2且x1＜x2(或Δx＝x1－x2＜0)：
①若f(x1)＜f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＜0]恒成立，则f(x)在D上单调递增； ②若f(x1)＞f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＞0]恒成立，则f(x)在D上单调递减． (2)最值．
设函数y＝f(x)的定义域为I：
①如果存在实数M满足：对任意的x∈I，都有f(x)≤M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；
②如果存在实数M满足：对任意x∈I，都有f(x)≥M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
2．函数的奇偶性． (1)定义．
对于定义域内的任意x有： ①f(－x)＝－f(x)?f(x)为奇函数； ②f(－x)＝f(x)?f(x)为偶函数． (2)性质．
①函数y＝f(x)是偶函数?y＝f(x)的图象关于y轴对称．函数y＝f(x)是奇函数?y＝
f(x)的图象关于原点对称．
②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且在x＝0处有定义时必有f(0)＝0，即f(x)的图象过原点．
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 3．周期性． (1)定义．
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)性质．
如果T是函数y＝f(x)的周期，则： ①kT(k≠0，k∈Z)也是y＝f(x)的周期；
②若已知区间[m，n](m＜n)上的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．
函数的图象
1．基本初等函数的图象．
基本初等函数包括：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数．对于这些函数的图象应非常清楚．
2．函数图象的画法． (1)描点法作图．
通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象． (2)图象变换法作图． ①平移变换．
a．y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． b．y＝f(x－b)(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位长度得到． 对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减． 而对于上、下平移变换，相比较则容易掌握，原则是：上加下减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上．
②对称变换(在f(－x)有意义的前提下)． a．y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称； b．y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称； c．y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称；
d．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴旋转180°，其余部分不变；
e．y＝f(|x|)的图象，可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出y＝f(x)(x＜0)的图象．
③伸缩变换．
a．y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；
1
b．y＝f(ax)(a＞0) 的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，a纵坐标不变而得到．
基本初等函数的图象和性质
指数函数与对数函数的图象和性质列表如下：
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
x2
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(×)
x(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)
(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}．(×) 1
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
x(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)
(6)函数y＝|x|是R上的增函数．(×)
1．下列说法中，不正确的是(B)
A．函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
2．(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C)
A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
2019高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质 文 doc
