应用统计辅导资料四
主 题：第一章 随机事件及其概率4—6节 学习时间：2014年10月20日－10月26日 内 容：
这周我们将学习第一章随机事件及其概率4—6节，主要讲述概率的几项重要计算公式和模型，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、理解概率的古典定义 2、理解条件概率的概念
3、熟练掌握乘法公式、全概率公式及贝叶斯（Bayes）公式，并能运用这些公式进行概率计算
4、理解事件独立性的概念
5、掌握运用事件的独立性进行概率计算
基本概念：古典概率、条件概率、事件的独立性 知识点：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式
1、为方便理解，我们将主要概念和计算公式总结如下： 概率的定义与计算公式 具有下列两个特点的概率模型称为古典概型（或等可能概型） （1）有限性：样本空间只包含有限个基本事件 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同 设事件A是由全部n个基本事件中的某m个基本事件构成（称概率模型 古典概型 m为有利于A的基本事件数），则古典概率为P(A)= m包含的基本事件数 ? n基本事件总数 条件概率：对于两个事件A与B，如果P(A)>0，称P(B|A)?概率的定义 P(AB)为事件A发P(A)生条件下，事件B发生的条件概率。 事件的独立性：两个事件A与B，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的，即P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 加法公式 特别地，若事件A1,A2,?An互不相容，则 P(A1?A2???An)=P(A1)+P(A2)+…P(An) 减法公式 乘法公式 若A,B为任意两个事件，则P(B-A)=P(B)-P(AB) 若A?B，则P(B-A)=P(B)-P(A) 若P(A)>0,P(B)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 概率的计算公式 如果事件A1,A2,?An构成一个完备事件组，且 全概率公式 P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于任何一个事件B，有 P(B)??P(Ai)P(B|Ai) i?1n如果事件A1,A2,?An构成一个完备事件组，且 P(Ai)>0,i=1,2, …,n,则对于任何一个事件B，若P(B)?0,有 贝叶斯公式 P(Am|B)?P(Am)P(B|Am)?P(A)P(B|A)iii?1n m=1,2…,n 2、典型例题解析
题型1：基本概念、公式与简单运算 题型2：古典概型的概率计算
题型3：利用加法公式、乘法公式、条件概率及事件的独立性计算概率 题型4：利用全概率公式、贝叶斯公式计算概率
例1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件所包含的样本点：掷一颗骰子，出现奇数点。（题型1）
解：掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，……，6点，可以记样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，那么“出现奇数点”的事件为{1，3，5}。
例2、口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次取到黑球，用A,B的运算表示下列事件：（题型1）
（1）第一次取到白球且第二次取到黑球 （2）两次都取到白球
（3）两次取到球的颜色不一致 （4）两次取到球的颜色一致 解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且第二次取到黑球，即事件A不发生且事件B发生，可用积事件AB表示
（2）两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A与B同时不发生，可用积事件AB表示
（3）两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件AB发生或积事件AB发生，可用和事件
_
_
__
_
AB+AB表示
（4）两次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件AB发生，可用和事件AB+AB表示
例3、罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求(题型2) （1）取到的都是白子的概率
（2）取到两粒白子，一粒黑子的概率 （3）至少取到一粒黑子的概率
（4）取到的3粒棋子颜色相同的概率 解：设A表示“取到的都是白子”，B表示“取到两粒白子，一粒黑子”，C表示“至少取到一粒黑子”，D表示“取到的3粒棋子颜色相同”。
基本事件总数n=C12
(1)因为3粒棋子都从8粒白棋中取得，A包含的基本事件数为C8，则
P(A)=
33
__
____
CC383=
1214 5521(2)B包含的基本事件数为C82C8C4=，则P(B)=C431C1228 55(3)因为3粒棋子中至少有一粒黑子，那么这三粒棋子的颜色有三种可能：一种是一粒黑子，两粒白子；一种是两粒黑子，一粒白子；一种是三粒都是黑子，故C包含的
C4 C8 ?C4C8?C44112213基本事件数为C4C8+C4C8+C4，则P(C)== 355C1212213或者由于各事件的关系可看出，C=A,所以P(C)=P(A)=1-P(A)=1-
__1441= 55553(4)取到的3粒棋子颜色相同，要么全是白的，要么全是黑的，共有C8+C4种取
? 153法，故P(D)=C83C4==
5511C12333例4、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7（题
型3）
（1）求目标被命中的概率
（2）若已知目标被命中，求它是甲射中的概率
解：设A1表示“甲命中目标”，A2表示“乙命中目标”，B表示“目标被命中”，所
求概率为P(B)和P(A1|B)
已知P(A1)=0.6，P(A2)=0.7，因A1与A2相互独立，利用事件之间的运算，B=A1+A2（或写成B=A1?A2）表示事件A1与A2至少有一个发生。
又利用加法公式，P(B)=P(A1)+(A2)-P(A1A2)，则
（1）P(B)=P(A1)+(A2)-P(A1A2)=P(A1)+(A2)-P(A1)P(A2) =0.6+0.7-0.6?0.7=0.88
又因A1?B，则 （2）P(A1|B)=
P(A1B)P(A1)0.615=== P(B)0.8822P(B)例5、设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，现在从由A和B的产品
分别是60%和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是多少？（题型4）
解：该次品可能是A生产的也可能是B生产的，工厂A和工厂B的产品的次品率都已知。产品可能是A生产的也可能是B生产的，构成样本空间的一个划分。随机抽取一件，发现是次品，求该次品属A生产的概率实际是由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式。
设事件C为“产品是次品”，事件A为“产品属A生产”，事件B为“产品属B生产”，因为P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(C|A)?0.01,P(C|B)?0.02
由全概率公式，有P(C)?P(A)?P(C|A)?P(B)?P(C|B)?0.014 又由贝叶斯公式，有P(A|C)?P(A)?P(C|A)
P(C)说明：由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式解决此类问题。此题的计算结果表明：工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，但从由A和B的产品分别占60%
3和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，该次品属A生产的概率变为，该次品属
74B生产的概率变为。P(C|A)的意思是在属A生产的产品中发现次品的概率，正好是A
7产品的次品率，所以不能混淆P(A|C)和P(C|A)，否则只会得出错误的结果。
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