(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：10.1.3 古典概型 Word版含答案

10．1.3 古典概型

考点 基本事件 古典概型的定义 古典概型的概率公式

问题导学

预习教材P233－P238的内容，思考以下问题： 1．古典概型的定义是什么？ 2．古典概型有哪些特征？ 3．古典概型的计算公式是什么？

1．古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． ■名师点拨 古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能． ②样本点个数无限，但等可能． ③样本点个数无限，也不等可能． 2．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

学习目标 了解基本事件的特点 理解古典概型的定义 会应用古典概型的概率公式解决实际问题 核心素养 数学抽象 数学抽象 数学运算、数学建模 kn（A）P(A)＝＝.

nn（Ω）

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

解析：选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.

若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )

1A. 53C. 5

3B. 101D. 2

解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为3

，故选B. 10

(2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )

2A. 329C. 36

5B. 63D. 4

解析：选B.由题意，连续抛掷两次骰子共有6×6＝36种情况；绝对值大于3的有(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)共6种，所以绝对值不大于3有：36－6＝30种，故305

所求概率P＝＝.故选B.

366

下列概率模型：

①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；

⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．

其中属于古典概型的是________．

解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．

答案：③

样本点的列举

一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球． (1)共有多少个样本点？

(2)“2个都是白球”包含几个样本点？ 【解】 (1)法一：采用列举法．

分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．

法二：采用列表法．

设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：

a b c d e a (b，a) (c，a) (d，a) (e，a) b (a，b) (c，b) (d，b) (e，b) c (a，c) (b，c) (d，c) (e，c) d (a，d) (b，d) (c，d) (e，d) e (a，e) (b，e) (c，e) (d，e) 由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个样本点．

(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．

样本点的三种列举方法

(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题． (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．

(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4

个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．

解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：

共24个样本点．

古典概型的概率计算

(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩

笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )

4

A. 52C. 5

3B. 51D. 5

(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，42

故所求概率P＝＝.

105

(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3

3种情况，故所求概率为.

10

3

【答案】 (1)C (2)

10

求古典概型概率的步骤

(1)判断是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n.

(3)算出事件A中包含的样本点个数m. m

(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.

n

在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．

1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

3A. 101C. 10

1B. 51D. 20

解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，1

5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.故选C.

10

2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )