2019年中考数学总复习（江西）专题突破训练（含新题）：专题十 几何压轴题

专题十 几何压轴题

类型一 动点探究型

(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化． (1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；

(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)； (3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．

【分析】 (1)要求BP与CE的数量关系，连接AC，由菱形和等边三角形的性质根据SAS可证明△ABP≌△ACE，从而证得BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得∠AFC＝90°，所以CE⊥AD；

(2)无论选择图②还是图③，结论不变，思路和方法与(1)一致；

(3)要求四边形ADPE的面积，观察发现不是特殊四边形，想到割补法，分成钝角△ADP和正△APE，分别求三角形的面积，相加即可． 【自主解答】

解：(1)BP＝CE；CE⊥AD； (2)选图②，仍然成立，证明如下：

如解图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC，

例1题解图①

∴△ABC为等边三角形， ∴BA＝CA.

∵△APE为等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝∠CAE. 在△BAP和△CAE中，

例1题解图②

∴△BAP≌△CAE(SAS)， ∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°. ∵AC和BD为菱形的对角线， ∴∠CAD＝60°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 选图③，仍然成立，证明如下：

如解图②，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H， 同理得△BAP≌△CAE(SAS)， BP＝CE，CE⊥AD.

(3)如解图③，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H， 由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴EC⊥BC.

∵BC＝AB＝23，BE＝219， ∴在Rt△BCE中，

CE＝（219）2－（23）2＝8，

例1题解图③

∴BP＝CE＝8.

∵AC与BD是菱形的对角线， 1

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，

2∴BD＝2BO＝2AB·cos 30°＝6， 1

AO＝AB＝3，

2

∴DP＝BP－BD＝8－6＝2， ∴OP＝OD＋DP＝5.

在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27， ∴S四边形ADPE＝S△ADP＋S△APE 13

＝DP·AO＋·AP2 2413

＝×2×3＋×(27)2 24＝83.

【难点突破】 本题的难点：一是如何找到全等的三角形，根据含60°内角菱形的特点，连接AC是解决问题的关键；二是点P是动点，当它运动到菱形的外部时，在其运动过程中由“手拉手”模型找全等三角形；三是求不规则四边形的面积，要想到运用割补法，将四边形分解成两个三角形求解．

几何压轴题中的“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．

1．(2018·沈阳)已知，△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合)，BN＝AM，连接AN，BM.射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.

(1)如图，当∠ACB＝90°时： ①求证：△BCM≌△ACN； ②求∠BDE的度数；

(2)当∠ACB＝α，其他条件不变时，∠BDE的度数是____________________；(用含α的代数式表示)

(3)若△ABC是等边三角形，AB＝33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．