系式；当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（300﹣10x）件，代入x＝3求得结果即可； （2）根据题意列出一元二次方程求得答案即可；
（3）把得到的函数关系式进行配方得到y＝﹣10（x﹣5）+6250，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大． 【解答】解：（1）当单价上涨3元时，销量为300﹣10×3＝270， 故答案为：270
（2）设销售单价上涨a元时利润为6160，根据题意得： （80﹣60+a）（300﹣10a）＝6160， 解得：a＝8或a＝2，
答：当上涨8元或2元时利润为6160元．
（2）y＝﹣10x+100x+6000 ＝﹣10（x﹣5）+6250 ∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5时，y有最大值，其最大值为6250，
即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．
【点评】本题考查了利用二次函数的最值问题解决实际问题中的最大或最小值问题：先根据题意得到二次函数关系式，然后配成顶点式，根据二次函数的性质求出最值．也考查了利润的概念．
25．（7分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为lcm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）． （1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
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【分析】（1）利用 分线段成比例定理构建方程即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵PQ⊥AC， ∴∠AQP＝∠C＝90°， ∴PQ∥BC， ∴
＝
，
＝
＝5，
在Rt△ACB中，AB＝∴
＝，
，
时，PQ⊥AC．
解得t＝∴t为
（2）如图，作PH⊥AC于H．
∵PH∥BC， ∴∴
＝＝
， ，
∴PH＝（5﹣t），
∴S＝?AQ?PH＝?t?（5﹣t）＝﹣
t+t＝﹣
2
（t﹣）+
2
，
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∵﹣＜0，
．
∴t＝，S有最大值，最大值为
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．（7分）阅读理解以下内容，解决问题： 例：解方程：x+|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时， 原方程化为：x+x﹣2＝0． 解得xl＝1，x2＝﹣2， ∵x≥0，∵x2＝一2舍去 （2）当x＜0时，
原方程化为：x﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣l ∵x＜0，∵x1＝2舍去
综上所述，原方程的解是x1＝l，x2＝﹣l． 依照上述解法，解方程：x﹣2|x﹣2|﹣4＝0．
【分析】分为两种情况：当x≥2和x＜2，得出两个一元二次方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：x﹣2|x﹣2|﹣4＝0， 当x﹣2≥0，即x≥2时，
原方程化为：x﹣2（x﹣2）﹣4＝0． 解得：xl＝0，x2＝2， ∵x≥2，∵x2＝0舍去； （2）当x﹣2＜0，即x＜2时， 原方程化为：x﹣2（2﹣x）﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣4， ∵x＜2，∵x1＝2舍去；
综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分
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类讨论思想．
27．（8分）如图，菱形ABCD边长为5，顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在y轴的正半轴上，且点A的坐标是（3，0），以点C为顶点的抛物线经过点A． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线进行平移，使得平移后的抛物线的顶点P在直线BC上，且此时的抛物线恰好经过点D，求平移后的抛物线解析式及其顶点P的坐标．
【分析】（1）OA＝3，AD＝5，则DO＝4，故点D（0，4），点C（5，4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣5）+4，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，即可求解；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+
；设点P的坐标为：（m，﹣m+
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），而点D
（0，4），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）﹣m+整理得：3m+4m﹣20＝0，即可求解．
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，将点D的坐标代入上式并
【解答】解：（1）OA＝3，AD＝5，则DO＝4，故点D（0，4），点C（5，4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣5）+4， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣5）+4；
（3）点A的坐标是（3，0），AB＝5，则点B（8，0），
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将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+；
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设点P的坐标为：（m，﹣m+），而点D（0，4），
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则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）﹣m+
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，
，
将点D的坐标代入上式并整理得：3m+4m﹣20＝0，解得：m＝2或﹣故点P（2，﹣8）或（﹣
，24），
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故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）﹣8或y＝﹣（x+）+24．
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【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质等，解题的关键是明确平移中抛物线的a值不变．
28．（10分）如图，抛物线y＝ax+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，即可求解； （2）设：HR＝BR＝x，则ER＝4x，BD＝5x＝＝1，则GH＝y＝﹣x+
…②，
＝
，x＝
，BH＝
x，BG
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＝，故点H（3，），而点B（4，0），直线HB的表达式为：
联立①②并解得：x＝4或﹣（舍去4），即可求解；
（3）分AM是斜边、CM是斜边、AC是斜边三种情况，分别求解即可．
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2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级(上)期中数学试卷含答案
