普通高校专升本《高等数学》参考答案
一、填空题 1. y?1?1x; e
2. ?1;
3.
125?a; 51; 44.
?2,4??； ?33??5.
?1(A?(??1)E); 6. 1; 2????2 7.
?0,y?08.?. 2?2yf?(y),y?0二、单项选择题
1. D; 2. B; 三、计算题
3. A;
4. D;
5. C 6. B
7. D 8. A
??axlna1???ln(ax?1)?lnx?1. 解 原式=exp?lim???, ………………………… 3分 ??=exp?xlim???ax?1x???x??x????axlna?0, ? 原式=e0?1. ……………………………… 5分 当0?a?1时, ? limxx???a?1 当a?0时, ? limlna?lna, ? 原式=elna?a. …………………………… 7分 ?xx???1?a2. 解 曲面在(1,?2,5)处的法向量为
n?(zx,zy,?1)(1,?2,5)?(2,?4,?1) ………………………………………………… 2分 平面?方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0, 即 2x?4y?z?5?0. ……………………… 4分
直线L的方程又可写为?11z?y??x?b,代入平面?的方程解得a?1,b??2. …… 7分
?z?ax?5(x?b)?343. 解 原式=dxdzy1?zdy ……………………………… 2分
0xx11???1422 =?dx?1?z(z?x)dz ……………………… 3分
20x1422 =?dz?1?z(z?x)dx ……………………… 5分
200143 =?1?zzdz …………………………………… 6分
30
11z
=
22?1. …………………………………………… 7分 184. 解
?z?z?f?(u)exsiny, ?f?(u)excosy. …………………………………1分
?y?x?2zx2x2 2=f??(u)(esiny)?f?(u)esiny?uf??(u)?uf?(u), ………………………2分
?x?2zx2x2x2 2=f??(u)(ecosy)?f?(u)esiny?f??(u)e(1?siny)?uf?(u)
?y =e2xf??(u)?u2f??(u)?uf?(u). …………………………………………………3分
?2z?2z2x 由2?2?ez得f??(u)?f(u)?0. ……………………………………………… 4分
?x?y 特征方程r?1?0,特征根r1??1,r2?1.
? f(u)?C1e?u2?C2eu. ………………………………………………………………… 6分
由f(0)?1,f?(0)?1得C1?0,C2? ? f(u)?1. 21ue. ………………………………………………………………………… 7分 23x115. 解 , … ………………………………………………… 2分 ??21?x1?2x1?x?2x?1??xn, |x|?1, ……………………………………………………… 4分
1?xn?0??1n??(?2x)??(?1)n2nxn, |2x|?1. …………………………… 6分
1?2xn?0n?0??? f(x)??x??(?1)2x=?[1?(?1)n2n]xn, |x|?nnnnn?0n?0n?01. ……………… 7分 26. 解: ?A??AA?1?BA?E?(AA?1)?B(AA?1)?1 ……………… 2分
?AA(AA)BAA …………… 3分
?1?1?1?1 ?ABA ……… 4分 ? B?(A(E?A))?1 ………………………5分
??2?3?1??? ??0?2?3? …………… 6分
?00?2????1??1??2 =?0??0??341?207???8?3? ………………… 7分 4?1??2??7. 解: B?C??2??6,?3??1,?4??2,?5??3,?6??4,?1??5
??2,?3??1,?4,?5??3,?6,?1??5+?6,?3??1,?2,?5??3,?4,?1??5…… 2分 ??2,?3,?4,?5,?6,?1??2,?1,?4,?3,?6,?5
+?6,?3,?2,?5,?4,?1??6,?1,?2,?3,?4,?5 ……………………………… 5分 ??8…………………………………………………………………………………………… 7分 18. 解: P???1,??1??P(BA)?P(B)P(AB)? …………………………… 2分
121 P???1,???1??P(BA)?P(B)?P(AB)? …………………………3分
4???1,??1??P(BA)?P(A)?P(AB)? P?P(AB)1?P(AB)? …… 4分
P(B|A)127 ……………………… 5分 1211 P{2????1}?P{???1,??1}?P{???1,???1}?P{??1,???1}? … 7分
121009. 解: E(?i)?10,D(?i)? …………………………………………………… 2分
3 P????1,???1??P(BA)?1?P(A?B)? P(??1100)?P(??100?10100?1003?1100?1000)
100?1003 ?1?P(??1000100003?3) ……………………………………… 5分
3 ?1????1e2??t22dt?1??(3)?0.042 ……………………… 7分
四、应用题
41. 解 如图所示,?????,
6???
x
106?tan??tan?xx=4x. ………… 3分 tan?==
60x2?601?tan?tan?1?2x 上式两边对x求导:
d?4(60?x2)? sec?, …………………………… 5分 dx(x2?60)2 令
d??0得惟一驻点x?215. …………………… 6分 dx 由问题的实际意义知?必有最大值,故x?215就是?的最大值点,即球员在离底线215米处可获得
最大射门张角arctan15. ………………………… 8分 151?1?00nTnn?1?2. 解: ? A?(??)?2??1?1??11?n01??00? ……………………………3分 ?0?1?01?? ? Ax?0?x1?x2?x4?0 …………………………………………5分
??1???1??0????????1??0??0? ?通解:??k1???k2???k3001???????0??1??0???????2ki?Ri?1,2,3 ………………8分
3. 解: ? E(?)?E(4??a?)?D(4??a?)?(E(4??a?)) ………… 2分
2 ?D(4?)?D(a?)?2cov(4?,a?)+(4+2a)……………… 5分
2 ?80?40a?13a …………………………………………… 6分 ? 当a??五、证明题
1. 证 令F(x)?f(x)?x, ……………………………………………… 1分 ? lim220时,E(?)达到最小 …………………………………… 8分 13f(x)?xF(x)=lim=?1?0, ………………………… 2分 x???x???xx ? 由极限保号性知,?a?0,使得F(a)?0. ……………………… 4 分 同理,由limF(x)=?1?0得,?b?0,使得F(b)?0. …………… 5分
x???x由于F(x)在[a,b]上连续,F(a)F(b)?0,故由零点定理知,???(a,b)?(??,??),使得F(?)?0,即
f(?)??. …………………………………………………… 8分
2.证: ?A?o?r(A)?1 ……………………………………………… 1分 ?Ax?0的基础解系中含的向量的个数?n?r(A)?n?1?n…… 3分 由B的每一个列向量是Ax?0的解?r(B)?n?r(A)?n …………5分 ?B中列向量组是线性相关的,?B?0 …………………………7分
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