第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合
[考纲要求]
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算.
突破点一 集合的概念与集合间的基本关系
[基本知识]
1.集合的有关概念
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系
表示 关系 集合间的基本关系 真子集 子集 文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 记法 A?B或B?A
集合A中的每一个元素都是集合B相等 中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何非空集合的真子集 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) (2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ) (3)?∈{0}.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 二、填空题
1.已知集合P={-2,-1,0,1},集合Q={y|y=|x|,x∈P},则Q=________. 解析:将x=-2,-1,0,1分别代入y=|x|中,得到y=2,1,0,故Q={2,1,0}. 答案:{2,1,0}
2.已知非空集合A满足:①A?{1,2,3,4};②若x∈A,则5-x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________.
解析:由题意,知满足题中要求的集合A可以是{1,4},{2,3},{1,2,3,4},共3个. 答案:3
3.设集合M={1,x,y},N={x,x2,xy},且M=N,则x2 019+y2 020=________.
22???x=1,?x=y,
解析:因为M=N,所以?或?由集合中元素的互异性,可知x≠1,解得
??xy=yxy=1,??
A?B且B?A?A=B ??A ?B且B≠?
??x=-1,
?所以x2 019+y2 020=-1. ?y=0.?
答案:-1
4.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是________.
解析:因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.①当a=0时,A={0}符合题意;②当a≠0时,要满足题意,需有Δ= 4-4a2=0,即a=±1.综上所述,a=0或a=±1.
答案:0或±1
[典例感悟]
1.(2019·厦门一中模拟)设集合M={x|x=2m+1,m∈Z},P={y|y=2m,m∈Z},若x0∈M,y0
∈P,a=x0+y0,b=x0y0,则( )
A.a∈M,b∈P C.a∈M,b∈M
B.a∈P,b∈M D.a∈P,b∈P
解析:选A 设x0=2n+1,y0=2k,n,k∈Z,则x0+y0=2n+1+2k=2(n+k)+1∈M,x0y0
=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P,即a∈M,b∈P,故选A.
2.(2019·广州模拟)已知集合{x|x2+ax=0}={0,1},则实数a的值为( ) A.-1 C.1
解析:选A 依题意知a≠0,则{0,-a}={0,1},所以a=-1.故选A.
3.(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A={0},B={-1,0,1},若A?C?B,则符合条件的集合C的个数为( )
A.1 C.4
B.2 D.8 B.0 D.2
解析:选C 由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个.
[方法技巧]
1.与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么,即确定性.
(2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质.
(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围,或确定集合中元素的个数,要注意检验集合
中的元素是否满足互异性.
2.判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系 从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断 在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集),比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系 结构法 数轴法 3.集合的子集、真子集的个数 含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n
-2个非空真子集.
[针对训练]
1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x?A},则集合B中元素的个数为( ) A.1 C.3
B.2 D.4
解析:选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4?A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
2.(2019·贵阳高三检测)设集合P={x|x<1},Q={x|x2<1},则( ) A.P?Q C.P??RQ
B.Q?P D.Q??RP
解析:选B 依题意得Q={x|-1 3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,则实数m的取值范围为________. 解析:∵B?A,∴①若B=?,则2m-1 ②若B≠?,则?m+1≥-2, ??2m-1≤5.解得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3]. 答案:(-∞,3] 突破点二 集合的基本运算 [基本知识] 1.集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B={x|x∈A,或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B={x|x∈A,且x∈B} 集合的补集 若全集为U,则集合A的补集为?UA ?UA={x|x∈U,且x?A} 2.集合基本运算的常见性质 (1)A∩A=A,A∩?=?. (2)A∪A=A,A∪?=A. (3)A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. (4)A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?.
2020理数第一章 第一节 集合
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