第2课时 等差数列的性质及应用
课时过关·能力提升
1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于 A.12
B.16
C.20
( ) D.24
解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B. 答案:B 2.在等差数列{an}中,已知a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( ) A.15
B.30
C.31
D.64
解析:∵{an}是等差数列,
∴a7+a9=a4+a12, ∴a12=16-1=15.
答案:A 3.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( ) A.2
B.3
C.6
D.9
解析:由已知可得m+2n=8,2m+n=10,
∴3(m+n)=18,∴m+n=6.∴m和n的等差中项是3.故选B.
答案:B 4.在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则插入的这7个数中的第4个数为( ) A.18
B.9
C.12
D.15
解析:由题意知3+8d=27,∴d=3,
∴a5=3+4×3=15.故选D.
答案:D 5.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 017,则该数列的首项为 . 答案:3 6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= .
解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=27. 答案:27 7.一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 .
解析:设这三个数分别为a-d,a,a+d,
则a-d+a+a+d=3a=9,即a=3.
∵(a-d)2+a2+(a+d)2=35,∴d=±2. ∴所求数列为1,3,5或5,3,1.
答案:1,3,5或5,3,1
8.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则= . 解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2,
由已知得 即 解得,即. 答案: 9.若有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2= .
解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 因为数列{cn}为21项的“对称”数列, 所以c2=c20=19. 答案:19 10.已知成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列. 分析:转化为证明2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b). 证明:∵成等差数列,∴,
∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b(a+c), ∴-2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2, ∴(a-c)2=(a+c)(a+c-2b). ∵a-c,a+c,a+c-2b都是正数, ∴2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).
∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
★11.已知函数f(x)=,数列{xn}的通项公式由xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+)确定. (1)求证:是等差数列;
新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列1-2-1-2
