新数学《推理与证明》高考知识点
一、选择题
1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A．甲 【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
B．乙
C．丙
D．丁
2．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中，
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
B．5个
C．7个
D．9个
因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】
本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.
3．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a?1?2sin2a”所用的几何图形，已知点B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE?AB,点F为EC的中点.设AC?2r,?DAC?a,那么下列结论:
①DC?2rcosa, ②AB?2rcos2a,
③FC?r?1?cos2a?, ④DC2?r?2r?AB?.
其中正确的是（ ） A．②③ 【答案】D 【解析】 【分析】
在Rt?ADC中，可判断①，Rt?ABC中，可判断②，利用?ADB与?ADE全等及
B．②④
C．①③④
D．②③④
?ADC与?DFC相似即可判断③④. 【详解】
DC?2rsina,故①不正确； 在Rt?ADC中， 因为BD?DC ,所以?BAC?2a,在Rt?ABC中，AB?2rcos2a，故②正确； 因为AE?AB，BD?DC，易知?ADB与?ADE全等，故
DE?BD?DC，DF?EC，所以FC?r?又
AB?r?1?cos2a?， 2DCFC2?，所以DC?AC?FC?r?2r?AB?，故③④正确， ACDC2由DC?2rsina,AB?2rcos2a，DC?r?2r?AB?，可得
?2rsina?2?r?2r?2rcos2a?，即2sin2a?1?cos2a.
故选：D. 【点睛】
本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
4．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A．甲 【答案】A 【解析】 【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。 【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。
因此，第三名是甲，故选：A。 【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。
B．乙
C．丙
D．无法预测
5．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A．甲 【答案】A 【解析】 【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 【详解】
①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题
B．乙
C．丙
D．丁
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习
