第五章 特征值和特征向量
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶矩阵，?为一个数，若存在非零向量?，使A????，则称数?为矩阵A的特征值，非零向量?为矩阵A的对应于特征值?的特征向量。
定义2：?E?A?f(?)，称为矩阵A的特征多项式，
称为矩阵A的特征方程，特征方程的根称为矩阵A的特征根 f(?)=?E?A?0，
矩阵?E?A称为矩阵A的特征矩阵
齐次方程组（A??E)X?0称为矩阵A的特征方程组。
性质3：设?1,?2,…,?n是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：
（1）?1+?2+…+? n=tr(A)( A的迹数，即主对角线上元素之和). （2）?1?2…?n=?A?.
性质4：如果?是A的特征值，则
（1）f(?)是A的多项式f(A)的特征值.
(2)如果A可逆，则1/?是A-1的特征值; |A|/?是A*的特征值. 即： 如果A的特征值是?1,?2,…,?n，则 （1）f(A)的特征值是f(?1),f(?2),…,f(?n).
（2）如果A可逆，则A-1的特征值是1/?1,1/?2,…,1/?n; 因为AA??A，
A*的特征值是|A|/?1,|A|/?2,…,|A|/?n.
性质1：对等式A????作恒等变形，得（A??E)??0，于是特征向量?是齐次方程组（A??E)X?0的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即A??E?0，说明A的特征值?为
性质5：如果?是A的特征向量，特征值为?，即A????则
（1）?也是A的任何多项式f(A)的特征向量，特征值为f(?)；
（2）如果A可逆，则?也是A-1的特征向量，特征值为1/?；?也是A*的特征向量，特征值为|A|/? 。
?E?A?0的
根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：
（1）?是A的特征值?A??E?0，即(?E-A)不可逆.（2）?是属于?的特征向量??是齐次方程组（A??E)X?0的非零解.
计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A的特征多项式，
?E?A?f(?)（2）求特征方程f(?)=?E?A?0的全部根，他们就是A的全
部特征值；（3）然后对每个特征值?，求齐次方程组（A??E)X?0的非零解，即属于?的特征向量.
k??kA?a??b?aA?bE1?1???A?是A的特征值,则:?分别有特征值. 22?A??Am?m??A???A?是A关于?的特征向量，则?也是上述多项式的特征向量。
推论：（1）对于数量矩阵?E，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是?.
性质2：n阶矩阵A的相异特征值?1,?2???m所对应的特征向量
（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.
（3）n阶矩阵A与他的转置矩阵A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.
1
T?1,?2……?线性无关
例 题
一、特征值、特征向量
??110???1?41?1.设A???430?,B??1 30?且A的特征值为2和1(二重), 那么B特征值。
????02????102???0?5. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的
(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件 解：假设?1,?2,?,?n为A的所有特征值, 则|A|??1?2??n. 所以 0为A的特征值?A可逆 (C)为答案.
6. 设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值, ?与?是A的分别属于?1,?2的特征向量, 则有?与?是
*解：A,A具有相同的特征值.B?AT, 所以B和A具有相同的特征值，B的特征值为: 2和1(二重)。
2.设A是n阶方阵, A为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵B?AA的特征值是___, 特征向量是______.
解：因为 AA?AA?|A|E, 所以对于任意n维向量?有AA??|A|E??|A|? 所以|A| = 5是B?AA的特征值, 任意n维向量? 为对应的特征向量。 3.三阶方阵A的特征值为1, －1, 2, 则B?2A?3A的特征值为_______. 解：2?1?3?1??1,2?(?1)?3?(?1)??5,2?2?3?2?4，
3.设A为n阶矩阵，A?0，A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值?，则(A)?E必有特征值
?*2T*
(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量 7. 设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值, ?,?是A的分别属于?1,?2的特征向量,
***则(A) 对任意k1?0,k2?0, k1??k2?都是A的特征向量. (B) 存在常数k1?0,k2?0, k1??k2?是A的特征向量. (C) 当k1?0,k2?0时, k1??k2?不可能是A的特征向量.
(D) 存在惟一的一组常数k1?0,k2?0, 使k1??k2?是A的特征向量. 解：?1??2为A的二个相异的特征值, 所以存在非零向量?,?, 满足
*32323232*
A???1?,A???2?. 而且?,?线性无关.
A，所以上式的特征值为：(解：因为A?AA，A的特征值为
?A??)2?1
假设存在 ? 满足: A(k1??k2?)??(k1??k2?) 所以 ?1k1???2k2???k1???k2?, 即
4.设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n, 试求|2A?E|.
解：因为A的特征值为1, 2, …, n, 所以2A + E的特征值为
(?1k1??k1)??(?2k2??k2)??0
因为 ?,?线性无关, 所以 ?1k1??k1= 0, ???1; ?1k2??k2= 0,
2i?1(i?1,2,?,n). 所以|2A?E|??(2i?1)。
i?1n
2
???2. 和?1??2矛盾. 所以(C)为答案.
8. 设?0是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组(?0E?A)x?0的基础解系为?1和?2, 则A的属于?0的全部特征向量是
(A) ?1和?2 (B) ?1或?2 (C)C1?1?C2?2(C1,C2为任意常数) (D) C1?1?C2?2(C1,C2为不全为零的任意常数)
解. 因为齐次线性方程组(?0E?A)x?0的基础解系为?1和?2, 所以方程组
当t?0,??1时
??4?12??41?2??400??100? A??E??0?24???01?2???01?2???01?2?
????????000000000000????????????????所以 r(A??E)?2，方程组(A??E)x?0基础解系所含解向量个数为1个
(?0E?A)x?0的全部解为C1?1?C2?2(C1,C2为任意常数)，但特征向量不能
为零, 则A的属于?0的全部特征向量是: C1?1?C2?2(C1,C2为不全为零的任意常数), (D)为答案. 9.设??1是矩阵
??3?12?的特征值，
A??0?14???01???t??x1?0T 相应的方程组为?. 取x3?1,得x2?2. 所以解向量为?0,2,1?,
?x2?2x3?0对应于??1的全部特征向量为k?0,2,1?。
T10.设A是3阶矩阵，且矩阵A的各行元素之和均为5，求矩阵A的特征值、
特征向量。
求：（1）t的值；(2) 对应于??1的所有特征向量。 解：因为??1，A?E?0?t?0?0?t为任意实数。 （2） t?0,??1时
???1?1??1??2?12??1??1???5?1? 11题答案：????? a??3 ?A??13??????5a??1????1??????1???1????1b?2?????1????1??b?0?2?12?11. 已知???1,1,?1?是?5a3?的特征向量 ，求a,b和?的特征值。
?????1b?2??T??4?12???4?12??0?12??01?2? A??E??0?24???0?24???0?24???000?
????????00?00???t???1???100????100??所以r(A??E)?2. 方程组(A??E)x?0基础解系所含解向量个数为1个
Tx2?2x3?0??0,2,1x?1,得x?2 相应的方程组为?. 取. 所以解向量为, 32??x1?012.设A是n阶矩阵，满足A2=A，求矩阵A的特征值。
解：A?A?0?A?A?E??0?A?0或者A?E?0??1?0或者??1
213.设向量????1,?2???n?，???b1,b2??bn?都是非零向量，且满足条件
T2?T??0，记n阶矩阵A??T?，求：（1）A （2）求A的特征值与特征向量。
对应于??1的全部特征向量为k?0,2,1?
T解:
3
(2) 设?为特征值，Ax??x ，x不为零，Ax??Ax??x
任意n个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n个单位向量。 14. 设矩阵A??5??a??1?c?1b0c?，其行列式3???a??22特征值为：
??1???TTT解：??1,?2,?3???2???1?1??2?2??3?3?2，??????2??
????3?A??1，又A的伴随矩阵A*有一个特征
T A?A?2A??2?2????2 二、相似矩阵
定义1： 设A? B都是n阶矩阵? 若有n阶可逆矩阵P? 使P?AP?B。
则称B是A的相似矩阵? 或说矩阵A与B相似，记作A∽B， 可逆矩阵P称为相似变换矩阵。
相似是矩阵之间的一种重要关系，它满足：自反性、对称性、传递性。
1
值?0，属于?0的一个特征向量为??(?1,?1,1)，求a、b、c和?0的值 解：因为A??AA????A?，所以A的特征值???1?0
A????0??AA???0??A???1相似矩阵的性质： ①A?B，从而A,B同时可逆或不可逆。
?0?，所以?也是A的特征向量。
②r(A)?r(B) ③?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征多项式，有相同
的特征值,但特征向量不一定相同。 ④tr(A)?tr(B) 证明： 因为A与B相似? 所以有可逆矩阵P? 使P?AP?B? 因此
1
?1c???1??a?5???1???1b3?????0????1?c0?a1??????1???1? a?c,b??3,?0?1 ????1?? |B??E|?|P?1AP??E|?|P?1AP?P?1(?E)P|
?|P?1(A??E)P|?|P?1|?|A??E|?|P| ?|A??E|? 即A与B有相同的特征多项式? ⑤若A∽B，则f(A)∽f(B)，即A-1∽B-1，AT∽BT，AK∽BK ⑥ 数量矩阵只与自己相似.
又因为A??1，代入可得：a?c?2
T15. 设a??1,0,?1?，矩阵A?aa，n为正整数，则aE?An?
T解：
，A??E???????2??0??1??2?0,?3?2
⑦ 因相似的矩阵有相同的秩，即相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。
三、矩阵的相似对角化
定义1：对任意n阶矩阵A? 寻求相似变换矩阵P? 使P?1AP??为对角阵? 称为矩阵A的相似对角化。
假设已经找到可逆矩阵P? 使P?AP??为对角阵? 我们来讨论P应满足什么关系?
1
16. 若3维列向量?,?满足???2，其中?为?的转置，则矩阵??的非零
4
TTT把P用其列向量表示为P?(p1? p2? ? ? ?? pn)? 由P?AP??? 得AP?P?? 即
1
??1??A(p1, p2, ???, pn)?(p1, p2, ???, pn)?????2????(?1p1? ?2p2? ? ? ? ? ?npn)? ??????n??即ri重特征值?i有ri个线性无关的特征向量，则n阶矩阵A与对角阵相似
?200??200?1.已知矩阵A??001?与B??0y0?相似, 则x = _____, y = ______.
???????01x???00?1??于是有 Api??ipi (i?1? 2? ? ? ?? n)?
可见?i是A的特征值? 而P的列向量pi就是A的对应于特征值?i的特征向量? 反之? 由上节知A恰好有n个特征值? 并可对应地求得n个特征向量? 这n个特征向量即可构成矩阵P? 使AP?P?(因特征向量不是唯一的? 所以矩阵P也不是唯一的? 并且P可能是复矩阵)?
由上面讨论可知，A能否与对角阵相似，取决于P是否可逆，即p1,p2?pn是否线性无关，当p1,p2?pn线性无关时（此时P可逆），则由AP=P?，得P?AP??，
1
20001x2000??2y,y?1.
解：因为A, B相似, 所以|A|?001??2?|B|?0y00?1相似矩阵的迹相等: tr(A)?2?x?tr(B)?2?y?1?2. 于是x?0. 1.设?,?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?T
T?200?T，则????000???000???
即A与对角阵相似。综上所述，有：
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个
线性无关的特征向量?
?a1??a1?1??，相似矩阵的迹相等。 解：??T??a2???1?2?3???a?22??????a3?3??a3??????1????Ta???1,?2,?3???2???1?1??2?2??3?3?2
????3?T1. 设a??1,1,1?,???1,0,k?，若矩阵??相似于?000?，则K=
??TT推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等? 则A与对角阵相似? 且
?=????????1?2?? ???????n???300???000??当A的特征方程有重根时? 就不一定有n个线性无关的特征向量? 从而不一定能对角化?
定理2：设?1,?2???m是n阶矩阵A的互异特征值，其重数分别为
r1,r2?rm且?ri?n，则A与对角阵相似的充要条件为:
i?1m解：1?0?k?3?k?2
2.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是
(A) 数量矩阵kE(k?1) (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1) (C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A 解：令P?E,则P?1?E. 所以P?1EP?EEE?E. 所以(C)是答案.
r(A??iE)?n?ri（i=1，2，……m）
3.设A为2阶矩阵，?1,?2为线性无关的2维列向量，A?1?0,A?2?2?1??2，
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(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
