.
注意：由定义知：极值概念是局部性的，最值概念是整体性的。
设函数f(x)在U(x0,?)内有定义，若?x?U(x0,?)，恒有f(x)?f(x0)（或
f(x)?f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大值（或极小值）．
0设函数f(x)的定义域为I，若?x?I，恒有f(x)?f(x0)（或
f(x)?f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的最大值（或最小值）．
4、函数的凹凸性和拐点：（175-176页）
定义： 如果连续曲线总位于其切线的之上（下），则称此曲是凹（凸）的．
凹凸性的判定法：设在区间I上f??(x)存在，
x1?x2f(x1)?f(x2)）； )?22x?xf(x1)?f(x2)（2）若f??(x)?0，则曲线y?f(x)是凸的（f(12)?）．
22（1）若f??(x)?0，则曲线y?f(x)是凹的（f(拐点：连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点(x0,f(x0))，称为该曲线的拐点 6、曲线的渐近线：（177页）
定义：无限延伸的曲线如若与某直线的距离无限趋于0，则称此直线为该曲线的
渐近线． （1）水平渐近线
若limf(x)?A（常数），称y?A是曲线y?f(x) 的水平渐近线．
x?(?)?（2）铅直渐近线
.
若limf(x)??，称x?x0是曲线y?f(x)的垂直渐近线．
x?x0(x?x0?)(x?x0?)
第13章 一元函数积分学
[内容提要]
一、不定积分（187-196页） 1．原函数与不定积分的概念：
原函数的定义 ：若[F(x)?c]??f(x)；则F(x)?c叫f(x)的全体原函数。 不定积分的定义：?f(x)dx?F(x)?c 2．不定积分的性质：
； ?kf(x)dx?k?f(x)dx（k?0为常数）
??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx；
?f(x)dx???f(x) 或 d?f(x)dx??f(x)dx；
???????F?(x)dx?F(x)?C 或 ?dF(x)?F(x)?C；
3．牢记基本积分公式（牢记13个）：
?xkdx?1k?1x?C（k??1常数） k?1特例 ?du?u?C
1?xdx?lnx?C
1xxadx?a?C (a?0，a?1) ?lna ?exdx?ex?C
?sinxdx??cosx?C
?cosxdx?sinx?C
.
1dx?tanx?C cos2x1 ?csc2xdx??2dx??cotx?C
sinx2?secxdx???secx?tanxdx?secx?C ?cscxcotxdx??cscx?C
11?x2?dx?arcsinx?C??arccosx?C
1?1?x2dx?arctanx?C??arccotx?C
4．不定积分的积分法
名称 公式法 具体方法 利用定义、性质、公式 求不定积分的方法 方法示例 例：?2xexdx??(2e)xdx (2e)x??C ln(2e) 凑微分法 已知?g(u)du?G(u)?c， 则?f(x) dx （恒等变形） 例：?excos(3ex?2)dx 1cos(3ex?2)d(3ex?2) ?31?sin(3ex?2)?C 3?改 写 ?g[?(x)] ?? (x) dx 凑 微 分?g[?(x)] d?(x) 求积分 G??(x)??C 设 ?f[?(t)]??(t)dt =F(t)?C， 换元规则： （1）?f(nax?b)dx， 令nax?b?t ，则 ?f(x)dx（换元） 令x??(t) ?f[?(t)]??(t)dt n tn?1 dx?dt a 求积分 F(t)?C （2）?f(a2?x2)dx， .
换元积分法 ?1 变量回返 F???(x)???C 令x?asint , dx?acostdt （3）?f(a2?x2)dx， 令x?atant , dx?asec2tdt （4）?f(x2?a2)dx，令 x?asect , dx?asecttantdt 分部积分法： 二、定积分
?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x) ?u(x)v(x)??v(x)u?(x)dx 简记为：?udv?uv??vdu 例：?xcosxdx??xdsinx ?xsinx??sinxdx ?xsinx?cosx?C 1、定积分的概念: （196-197页）
定义 ：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi；
abn??0i?1几何意义：?f(x)dx = 曲边梯形面积的代数和，
ab特别的：?dx?b?a；
ab函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在闭区间[a,b]上有界； 函数f(x)在[a,b]上可积的充分条件：f(x)在闭区间[a,b] 上连续。 2、定积分的性质:（197-198页）
规定 :
?baf(x)dx???f(x)dx , bbaa?aabf(x)dx?0 ,ba?baf(x)dx??f(t)dt
ab线性性质: ①?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx
a②?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）
aabb .
可加性 :
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
accb不等式性: ①若如果在[a,b]上 , 有f(x)?g(x) , 则?f(x)dx?0
ab②若?x?[a,b] , 有f(x)?g(x) , 则?f(x)dx??g(x)dx
aabb③
?baf(x)dx??f(x)dx（a?b）
ba积分中值定理: 若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
?ba?f(x)dx?f(?)(b?a) 或 f(?)?baf(x)dxb?a?f(x)
3、变上限定积分 (变上限函数) :（199页） 定义 ： 设f(x)在[a,b]上连续，称函数?(x)?是上限变量x函数, 定义域为[a,b]。
? x af(t)dt为变上限定积分，它
d? x??f(x)； f(t)dt性质： ▲?(x)为可导函数，??(x)???? a?dx?▲若 ?(x)?
4、定积分的计算：（199-204页）
名称 ▲牛顿-莱布 尼兹公式 凑微分法 已知 ?g(u)du?G(u)?c，则 计算公式 ? g(x) af(t)dt，则??(x)?ddx?? g(x) af(t)dt?f[g(x)]g?(x)
?? b af(x)dx?F(x) a?F(b)?F(a) b▲f(x)在[a,b]上连续，且F?(x)?f(x) ?b af(x)dx??g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x) a abb
一元函数微积分学内容提要
