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四则法则 u(x)?v(x) ?uv??u?v?uv?,推广: ?uv????u?v??uv???uv?? Cu(x) u(x) v(x)?Cu???Cu?(C常数) ?u??u?v?uv? ???2v?v?dydydu???f?(u)???(x) dxdudx 复合函数 若y?f(u),u??(x) ?f?[?(x)]???(x) 复合:y?f??(x)? y?f(x)是x??(y)f?(x)?1 ??(y)反函数 的反函数 隐函数 (对数求导法)
(3)、高阶导数的公式及法则:
(a?x)(n)??na?xlnna 特例: (ex)(n)?ex
F(x,y)?0确定了y方程的两端(或取对数后的方程的两端)同时对x求导,然后解出y?. 是x的函y?f(x) (sinx)(n)?sin(x?n?) , (cosx)(n)?cos(x?n?),
22???ln(1?x)?(n)(?1)n?1(n?1)!?,
(1?x)n?1????ax?b?(n)?(?1)nn!an?ax?b?n?1
?Cu(x)?(n)?Cu(n)(x),(C为常数)
(n)?u(x)?v(x)??u(n)(x)?v(n)(x)
3、微分概念: (165-166页)
(1)微分的定义: 设函数y?f(x)在U(x0,?)内有定义,x0??x?U(x0,?)且
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?y?f(x0??x)?f(x0)?A??x?o(?x)
其中A是不依赖于?x的常数,而o(?x)是比?x高阶的无穷小量,则称y?f(x)在点x处可微, 其中A??x称为y?f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即
dy?A??x 或 dy?A?dx.
(2)可微与可导的关系:
定理 函数y?f(x)在点x处可微?y?f(x)在点x处可导.且 A?f?(x),
dy?f?(x)?dx(注意:可微?可导)
(3)微分的几何意义
y?f(x)在x0处的微分dy?f?(x0)?dx的几何意义是:dy?PQ(切线MT的
增量).
f?(x0)?tan?(切线MT的斜率).
.
(4)微分的基本公式和四则运算法则(162-163页) 基本公式:df(x)?f?(x)dx 或 dy?y? dx(略)
微分的四则运算法则: d[Cu(x)]?Cdu(x)(C为常数)
d[u(x)?v(x)]?du(x)?dv(x) d[u(x)v(x)]?u(x)?dv(x)?u(x)?dv(x) d[u(x)v(x)?du(x)?u(x)?dv(x)]? (v(x)?0) v(x)v2(x)df(u)?f?(u)du(一阶微分形式的不变性)
二、中值定理与导数应用: 1、中值定理:(167-168页) 名 称 罗尔定理 条 件 设函数f(x)满足条件: 在(a,b)内至少存在一点?,满 结 论 ① 在[a,b]上连续, 足f?(?)?0. ② 在(a,b)内可导, ③ f(a)?f(b). .
拉格朗日定理 设函数f(x)满足条至少存在一点??(a,b),使得 件: f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ①在 [a,b]上连续, 或 f?(?)?②在开区间(a,b)内可导. f(b)?f(a) b?a(拉格朗日中值公式) . f(x)?C(C常数)拉格朗日定理推论在区间I上恒有:1 拉格朗日定理推论2
f?(x)?0 在区间I上恒有: f?(x)?g?(x) f(x)?g(x)?C(C常数) 0?2、洛必达法则:计算极限 ,, 0??, ???, 1?, ?0,00(168-171页).
0?
3、函数的单调性与极值(171-175页):
名 称 函 数 的 条 件 函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f?(x)?0 函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f?(x)?0 结 论 f(x)在[a,b]上单调增加 f(x)在[a,b]上单调减少 .
单 调 性 极 值 的 判 别 法 (I) 极值的判别法(II) 可导函f(x)在点x0处可导, f?(x0)?0(此时x0叫f(x)的驻点) f?(x0)?0, f??(x0)?0 f??(x0)?0 f??(x0)?0 函数f(x)在x0处连续,在U(x0,?)内可导,f?(x0)?0(或不存在) x?x0时,f?(x)?0 x?x0时, f?(x)?0 x?x0时,f?(x)?0 x?x0时,f?(x)?0 f(x0)是极大值 f(x0)是极小值 f(x0)是极小值 f(x0)是极大值 数极值且f(x0)为极值 存在的必要条件
一元函数微积分学内容提要
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