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四则法则 u(x)?v(x) ?uv??u?v?uv?，推广： ?uv????u?v??uv???uv?? Cu(x) u(x) v(x)?Cu???Cu?（C常数） ?u??u?v?uv? ???2v?v?dydydu???f?(u)???(x) dxdudx 复合函数 若y?f(u)，u??(x) ?f?[?(x)]???(x) 复合：y?f??(x)? y?f(x)是x??(y)f?(x)?1 ??(y)反函数 的反函数 隐函数 （对数求导法）
（3）、高阶导数的公式及法则：
(a?x)(n)??na?xlnna 特例： (ex)(n)?ex
F(x,y)?0确定了y方程的两端（或取对数后的方程的两端）同时对x求导，然后解出y?． 是x的函y?f(x) (sinx)(n)?sin(x?n?) ， (cosx)(n)?cos(x?n?)，
22???ln(1?x)?(n)(?1)n?1(n?1)!?，
(1?x)n?1????ax?b?(n)?(?1)nn!an?ax?b?n?1
?Cu(x)?(n)?Cu(n)(x)，（C为常数）
(n)?u(x)?v(x)??u(n)(x)?v(n)(x)
3、微分概念: (165-166页)
（1）微分的定义： 设函数y?f(x)在U(x0,?)内有定义，x0??x?U(x0,?)且
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?y?f(x0??x)?f(x0)?A??x?o(?x)
其中A是不依赖于?x的常数，而o(?x)是比?x高阶的无穷小量，则称y?f(x)在点x处可微， 其中A??x称为y?f(x)在点x处的微分，记作dy或df(x)，即
dy?A??x 或 dy?A?dx．
（2）可微与可导的关系：
定理 函数y?f(x)在点x处可微?y?f(x)在点x处可导．且 A?f?(x)，
dy?f?(x)?dx（注意：可微?可导）
（3）微分的几何意义
y?f(x)在x0处的微分dy?f?(x0)?dx的几何意义是：dy?PQ（切线MT的
增量）．
f?(x0)?tan?（切线MT的斜率）．
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（4）微分的基本公式和四则运算法则（162-163页） 基本公式：df(x)?f?(x)dx 或 dy?y? dx（略）
微分的四则运算法则： d[Cu(x)]?Cdu(x)（C为常数）
d[u(x)?v(x)]?du(x)?dv(x) d[u(x)v(x)]?u(x)?dv(x)?u(x)?dv(x) d[u(x)v(x)?du(x)?u(x)?dv(x)]? (v(x)?0) v(x)v2(x)df(u)?f?(u)du（一阶微分形式的不变性）
二、中值定理与导数应用： 1、中值定理：（167-168页） 名 称 罗尔定理 条 件 设函数f(x)满足条件： 在(a,b)内至少存在一点?，满 结 论 ① 在[a,b]上连续， 足f?(?)?0． ② 在(a,b)内可导， ③ f(a)?f(b)． .
拉格朗日定理 设函数f(x)满足条至少存在一点??(a,b)，使得 件： f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ①在 [a,b]上连续， 或 f?(?)?②在开区间(a,b)内可导． f(b)?f(a) b?a（拉格朗日中值公式） ． f(x)?C（C常数）拉格朗日定理推论在区间I上恒有：1 拉格朗日定理推论2
f?(x)?0 在区间I上恒有： f?(x)?g?(x) f(x)?g(x)?C（C常数） 0?2、洛必达法则：计算极限 ,, 0??, ???, 1?, ?0，00（168-171页）.
0?
3、函数的单调性与极值（171-175页）：
名 称 函 数 的 条 件 函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f?(x)?0 函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f?(x)?0 结 论 f(x)在[a,b]上单调增加 f(x)在[a,b]上单调减少 .
单 调 性 极 值 的 判 别 法 （I） 极值的判别法（II） 可导函f(x)在点x0处可导， f?(x0)?0（此时x0叫f(x)的驻点） f?(x0)?0， f??(x0)?0 f??(x0)?0 f??(x0)?0 函数f(x)在x0处连续，在U(x0,?)内可导，f?(x0)?0（或不存在） x?x0时，f?(x)?0 x?x0时， f?(x)?0 x?x0时，f?(x)?0 x?x0时，f?(x)?0 f(x0)是极大值 f(x0)是极小值 f(x0)是极小值 f(x0)是极大值 数极值且f(x0)为极值 存在的必要条件
一元函数微积分学内容提要
