.
(1)四则运算:两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数.
(2)反函数的连续性:若原函数单值、单调且连续,则其反函数也单值、
单调且连续.
(3)复合函数的连续性:两个连续函数所复合成的复合函数必连续. (4)初等函数的连续性:
结论 :一切基本初等函数在其定义域均连续.
初等函数在其定义区间均连续.
4、闭区间上连续函数的性质: (148-149页)
(1)有界性:设f(x)在[a,b]上连在续,则f(x)在[a,b]上有界.
(2)最值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值M和
最小值m.
即
? x1 , x2?[a,b],使得?x?[a,b],有
m?f(x1)?f(x)?f(x2)?M.
(3)零点存在定理:设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)?0,则? c?(a,b),
使得f(c)?0.(函数值为零的点叫该函数的零点)
(4)介值定理:设f(x)在[a,b]上连续,f(a)?f(b),C是介于f(a) 与 f(b)之间的任何实数,则必? ??(a,b),使得f(?)?C.
推论:闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.
0?四、计算极限的常用方法:(类型:,,0??,???,?0,1?,00 等等)
0?2?3x21?2??lim?3?0;lim★(1)观察法:例如:lim????3;x??x??x2n??x2n?? .
limqn?0 (q?1)。
n??★(2)四则运算法则:若limf(x)?A,limg(x)?B,则
i)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B ii)lim[f(x)g(x)]?limf(x)limg(x)?AB 推广:limkf(x)?klimf(x)?kA(k常数),
limfn(x)??limf(x)??An(n自然数)
iii)limf(x)limf(x)A?? (B?0) g(x)limg(x)Bn1sinx1x★ (3)两个重要极限公式: lim?1,lim(1?)?e或 lim(1?x)x?e
x?0x?0x??xx★(4)利用函数的连续性:若f(x)在点x0处连续,则limf(x)?f(x0).
x?x0★(5)利用无穷小量的性质: 在同一自变量的变化过程中,
i)有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量; ii)无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量; iii)无穷小量与有极限的变量之积仍是无穷小量; iv)若? (?不恒为零)为无穷小量,则v)无穷小量的等价代换:
当x?0时:sinxx1为无穷大量. ?x, tanxxx, arcsinxnx,arctanxx,ln(1?x)x2. 2x,
e?1x,a?1xlna,1?x?1x, 1?cosxn★(7)极限存在的充要条件:
limf(x)?A? f(x0?0)?f(x0?0)?A
x?x0 .
limf(x)?A? limf(x)?limf(x)?A
x??x???x???0?★ (8)洛必达法则(或):
0?若limf(x)?limg(x)?0(或?),lim x?x0(x??) x?x0(x??) x?a(x??)f?(x)存在(或为?),则 g?(x) lim
x?a(x??)f(x)f?(x) ?lim x?ag(x)(x??)g?(x)第12章 一元函数微分学[内容提要]
一、导数与微分:
1、导数概念:(156-159页) (1)导数的定义
名 称 函数在点x0的导数 f?(x0)?lim 定 义 f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xf(x)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim h?0x?x0h ?limx?x0导数的记号: f?(x0)?y?x?x?0dydx?x?x0df(x)dx x?x0 左导数 f??(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim? x?x0?xx?x0 .
右导数 函数在点x0处可导的充要条件 函数在(a,b)内可导 函数在[a,b]上可导 高阶导数 f??(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim?. x?x?xx?x00f??(x0)和f??(x0)均存在且相等.即 f??(x0)?f??(x0)?f?(x0) ?x?(a,b),有 f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x) ?limh?0?x?0?xhdydf(x)?导数的记号:f?(x)?y??. dxdxf?(x)?lim若函数y?f(x)在开区间(a,b)可导,且f??(a)及f??(b)都存在,则称y?f(x)在[a,b]上可导. 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数,f?(x)叫一阶导数. (n?1)??y即 y(n)????
(2)导数的几何意义: k切线?dydx?f?(x0),
x?x0曲线y?f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程:y?f(x0)?f?(x0)(x?x0) 法线方程: y?f(x0)??(3)可导与连续的关系:
定理:若函数y?f(x)在点x0处可导 ,则函数在该点必连续.
1(x?x0) f?(x0) .
注意: 可导?连续,但连续却不一定可导. 2、导数的运算:
(1)基本导数公式(共16个)(159-161页)
函数 常函数 导数公式 (C)??0 , C为任意常数 幂函数 (x?)???x??1,?为任意常数 指数函数 ax (ax)??axlna , (ex)??ex 对数函数logax (logax)?? 三角函数 11,(lnx)?? xlnax(sinx)??cosx (cosx)???sinx (tanx)??sec2x (cotx)???csc2x (secx)??secx?tanx (cscx)???cscx?cotx 反三角函数 (arcsinx)??11?x2
(arccosx)???11?x2 (arctanx)??1 21?x1 (arccotx)???1?x2
(2)求导法则(160-165页)
函数 u(x)?v(x) 求导公式 ?u?v???u??v?
一元函数微积分学内容提要
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)