.
（1）四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.
（2）反函数的连续性：若原函数单值、单调且连续，则其反函数也单值、
单调且连续.
（3）复合函数的连续性：两个连续函数所复合成的复合函数必连续. （4）初等函数的连续性：
结论 ：一切基本初等函数在其定义域均连续.
初等函数在其定义区间均连续.
4、闭区间上连续函数的性质: （148-149页）
（1）有界性：设f(x)在[a,b]上连在续，则f(x)在[a,b]上有界.
（2）最值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值M和
最小值m.
即
? x1 , x2?[a,b]，使得?x?[a,b]，有
m?f(x1)?f(x)?f(x2)?M.
（3）零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则? c?(a,b)，
使得f(c)?0.（函数值为零的点叫该函数的零点）
（4）介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)?f(b)，C是介于f(a) 与 f(b)之间的任何实数，则必? ??(a,b)，使得f(?)?C.
推论：闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.
0?四、计算极限的常用方法：（类型：，，0??，???，?0，1?，00 等等）
0?2?3x21?2??lim?3?0；lim★（1）观察法：例如：lim????3；x??x??x2n??x2n?? .
limqn?0 (q?1)。
n??★（2）四则运算法则：若limf(x)?A，limg(x)?B，则
i）lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B ii）lim[f(x)g(x)]?limf(x)limg(x)?AB 推广：limkf(x)?klimf(x)?kA（k常数），
limfn(x)??limf(x)??An（n自然数）
iii）limf(x)limf(x)A?? (B?0) g(x)limg(x)Bn1sinx1x★ （3）两个重要极限公式： lim?1，lim(1?)?e或 lim(1?x)x?e
x?0x?0x??xx★（4）利用函数的连续性：若f(x)在点x0处连续，则limf(x)?f(x0)．
x?x0★（5）利用无穷小量的性质： 在同一自变量的变化过程中，
i）有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量； ii）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量； iii）无穷小量与有极限的变量之积仍是无穷小量； iv）若? (?不恒为零)为无穷小量，则v）无穷小量的等价代换：
当x?0时：sinxx1为无穷大量． ?x， tanxxx， arcsinxnx，arctanxx，ln(1?x)x2． 2x，
e?1x，a?1xlna，1?x?1x， 1?cosxn★（7）极限存在的充要条件：
limf(x)?A? f(x0?0)?f(x0?0)?A
x?x0 .
limf(x)?A? limf(x)?limf(x)?A
x??x???x???0?★ （8）洛必达法则（或）：
0?若limf(x)?limg(x)?0（或?），lim x?x0(x??) x?x0(x??) x?a(x??)f?(x)存在（或为?），则 g?(x) lim
x?a(x??)f(x)f?(x) ?lim x?ag(x)(x??)g?(x)第12章 一元函数微分学[内容提要]
一、导数与微分：
1、导数概念：(156-159页) （1）导数的定义
名 称 函数在点x0的导数 f?(x0)?lim 定 义 f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xf(x)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim h?0x?x0h ?limx?x0导数的记号： f?(x0)?y?x?x?0dydx?x?x0df(x)dx x?x0 左导数 f??(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim? x?x0?xx?x0 .
右导数 函数在点x0处可导的充要条件 函数在(a,b)内可导 函数在[a,b]上可导 高阶导数 f??(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim?． x?x?xx?x00f??(x0)和f??(x0)均存在且相等.即 f??(x0)?f??(x0)?f?(x0) ?x?(a,b)，有 f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x) ?limh?0?x?0?xhdydf(x)?导数的记号：f?(x)?y??． dxdxf?(x)?lim若函数y?f(x)在开区间(a，b)可导，且f??(a)及f??(b)都存在，则称y?f(x)在[a，b]上可导． 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，f?(x)叫一阶导数． (n?1)??y即 y(n)????
（2）导数的几何意义： k切线?dydx?f?(x0)，
x?x0曲线y?f(x)在点M(x0，y0)处的切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0) 法线方程： y?f(x0)??（3）可导与连续的关系：
定理：若函数y?f(x)在点x0处可导 ，则函数在该点必连续.
1(x?x0) f?(x0) .
注意： 可导?连续，但连续却不一定可导. 2、导数的运算：
（1）基本导数公式（共16个）（159-161页）
函数 常函数 导数公式 (C)??0 ， C为任意常数 幂函数 (x?)???x??1，?为任意常数 指数函数 ax (ax)??axlna ， (ex)??ex 对数函数logax (logax)?? 三角函数 11，(lnx)?? xlnax(sinx)??cosx (cosx)???sinx (tanx)??sec2x (cotx)???csc2x (secx)??secx?tanx (cscx)???cscx?cotx 反三角函数 (arcsinx)??11?x2
(arccosx)???11?x2 (arctanx)??1 21?x1 (arccotx)???1?x2
（2）求导法则（160-165页）
函数 u(x)?v(x) 求导公式 ?u?v???u??v?
一元函数微积分学内容提要
