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第四部分 一元函数微积分
第11章 函数极限与连续[内容提要]
一、函数：(138-141页）
1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反
三角函数的统称）；复合函数（y?f[?(x)]）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（y?f(x)g(x)）；反函数。
3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限：
1、极限的概念：(141-142页)
定义1：（数列极限）给定数列?xn?，如果当n无限增大时，其通项xn无限趋向
于某一个常数a，即xn?a无限趋近于零，则称数列?xn?以a的极限，或称数列?xn?收敛于a，记为limxn?a，若?xn?没有极限，则称数列?xn?n??发散。
定义2：（x?x0时函数f(x)的极限）设函数f(x)在点x0的某一去心邻域U(x0,?)内有定义，当x无限趋向于x0（x?x0）时，函数f(x)的值无限趋向于
A，则称x?x0时， f(x)以A为极限，记作limf(x)?A。
x?x0左极限：设函数f(x)在点x0的左邻域(x0??,x0)内有定义，当x?x0且无限趋向
于x0时，函数f(x)的值无限趋向于常数A，则称x?x0时，f(x)的左极限为A，记作f(x0?0)?lim?f(x)?A。
x?x0右极限：设函数f(x)在点x0的右邻域(x0,x0??)内有定义，当x?x0且无限趋向
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于x0时，函数f(x)的值无限趋向于常数A，则称x?x0时，f(x)的右极限为A，记作f(x0?0)?lim?f(x)?A。
x?x0定义3：（x趋于无穷大时函数f(x)的极限）设f(x)在区间x?a (a?0)时有定
义，若x无限增大时，函数f(x)的值无限趋向于常数A，则称当x??时，f(x)以A为极限，记作limf(x)?A 。
x??左极限：设函数f(x)在(??,a]上有定义 ，若x???时，f(x)的值无限趋近于
常数A，则称当x???时，f(x)以A为极限，记作limf(x)?A 。
x???右极限：设函数f(x)在[a,??)上有定义 ，若x???时，f(x)的值无限趋近于
常数A，则则称当x???时，f(x)以A为极限，记作limf(x)?A 。
x???注意：①极限与左右极限的关系
x?x0limf(x)?A? f(x0?0)?f(x0?0)?A
x???x???limf(x)?A? limf(x)?limf(x)?A．
x??②讨论极限limf(x)时，与f(x)在x0处是否有定义无关，与函数值f(x0)
x?x0也无关。
2、极限的性质：(143页)
（1）唯一性：若limf(x)存在，则极限值唯一。
（2）有界性：若limf(x)?A（limf(x)?A），则f(x)在U(x0,?)内（xx?x0x??充分大时）是有界的；
（3）保号性： 设limf(x)?A，如果A?0（或A?0），则在U(x0,?)内，
x?x0有f(x)?0（或f(x)?0）； 反之，如果在U(x0,?)内有，则必有A?0（或A?0）． f(x)?0（或f(x)?0）
推广：设limf(x)?A，limg(x)?B，如果A?B，则在U(x0,?)内，有
x?x0x?x0 .
反之，如果在U(x0,?)内有f(x)?g(x)，则必有A?B。 f(x)?g(x)；
注意： 当x??时，保号性结论类似。 3、无穷小量与无穷大量：(146-149页) （1）无穷小量与无穷大量的概念及关系：
无穷小量：若limf(x)?0，则称函数f(x)为x?x0 (或x??)时的无穷小量。
x?x0(x??)（无穷小量是函数有极限的特殊情形，即limf(x)?0）
x?x0(x??)无穷大量：若x?x0 (或x??)时，f(x)无限变大，则称f(x)为
x?x0(或x??)时的无穷大量。（无穷大量是函数没有极限的特殊情形；即
x?x0(x??)limf(x)??）
（2）值得注意的几个关系： ① 极限与无穷小量关系：
（其中?为无穷小，即lim??0）； limf(x)?A?f(x)?A??，
②在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大量，则
1为无穷小量；f(x)若f(x) （f(x)?0）为无穷小量，则
01为无穷大量。 f(x)③若limf(x)??，则称f(x)在U(x0,?)（或x?M）内为无界函数。
x?x0(x??)即无穷大量必为无界函数，但无界函数不一定为无穷大量。
例如：f(x)?xsinx在(??,??)为无界函数，但当x??时，f(x)不是无穷大量。
（3）无穷小量的比较：设x??时， ?(x)?0 , ?(x)?0 且 lim?(x)?c，
x???(x) .
1）若c?0为常数，则称x??时?(x)与 ?(x)为同阶无穷小； 特别的：当c?1时，则称x??时?(x)与 ?(x)是等价无穷小，记作：
x??时?(x)?(x)。
2）若c?0，则称x??时?(x)是比 ?(x)高阶的无穷小，记作
?(x)?o(?(x)) ；
3）若c??，则称x??时?(x)是比 ?(x)低阶的无穷小。
（4）无穷小量的替换定理：
设x??时，?(x), ?(x),?1(x), ?1(x)都是无穷小量， 且?(x)?1(x)
?(x)?1(x)，极限lim?1(x)?(x)?(x)?lim1存在，则lim。
x???(x)x???(x)x???(x)11
xx231?cosx2?1； lim1?x?1?lim3??1 例：lim?limx?0tan2xx?0x2x?0x2?3xx?0x2?3x29
三、函数的连续性
1、连续的概念：（149-147页）
名 称 函数在点x0连续 定 义 若 limf(x)?f(x0)，则称f(x)在点x0处连续. x?x0或若 lim?y?0?lim?f(x0??x)?f(x0)??0 ?x?0?x?0则称f(x)在点x0处连续. .
左连续 右连续 函数在点x0处连续的充要条件 若lim?f(x)?f(x0)，称f(x)在点x0处左连续. x?x0 若lim?f(x)?f(x0)，称f(x)在点x0处右连续. x?x0f(x)在点x0处左连续且右连续.即 lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0) x?x0x?x0 函数在(a,b)内连续 若f(x)在(a,b)内的每一点均连续，称f(x)在(a,b)内连续. 函数在[a,b]上连续 若f(x)在(a,b)内连续，且在点a右连续（lim， f(x)?f(a)）?x?a在点b左连续（lim，称函数在[a,b]上连续. f(x)?f(b)）?x?b2、间断点及其分类：（147-151页） 定义： 函数f(x)的不连续点叫其间断点. 分类：设x0为f(x)的间断点
（1）若f(x0?0)及f(x0?0)均存在，则x0叫f(x)的第一类间断点，
若f(x0?0)=f(x0?0)（即limf(x)存在）x0叫f(x)第一类可去间断
x?x0点；
（2）若f(x0?0)及f(x0?0)有一个不存在，则x0叫f(x)的第二类间断点. 3、连续函数的运算：（148页）
一元函数微积分学内容提要
