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第四部分 一元函数微积分
第11章 函数极限与连续[内容提要]
一、函数:(138-141页)
1、函数的定义:对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类:基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反
三角函数的统称);复合函数(y?f[?(x)]);初等函数(由常数和基本初等函数构成的,且只能用一个式子表达的函数);分段函数;隐函数;幂指函数(y?f(x)g(x));反函数。
3、函数的特性:奇偶性;单调性;周期性;有界性. 二、极限:
1、极限的概念:(141-142页)
定义1:(数列极限)给定数列?xn?,如果当n无限增大时,其通项xn无限趋向
于某一个常数a,即xn?a无限趋近于零,则称数列?xn?以a的极限,或称数列?xn?收敛于a,记为limxn?a,若?xn?没有极限,则称数列?xn?n??发散。
定义2:(x?x0时函数f(x)的极限)设函数f(x)在点x0的某一去心邻域U(x0,?)内有定义,当x无限趋向于x0(x?x0)时,函数f(x)的值无限趋向于
A,则称x?x0时, f(x)以A为极限,记作limf(x)?A。
x?x0左极限:设函数f(x)在点x0的左邻域(x0??,x0)内有定义,当x?x0且无限趋向
于x0时,函数f(x)的值无限趋向于常数A,则称x?x0时,f(x)的左极限为A,记作f(x0?0)?lim?f(x)?A。
x?x0右极限:设函数f(x)在点x0的右邻域(x0,x0??)内有定义,当x?x0且无限趋向
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于x0时,函数f(x)的值无限趋向于常数A,则称x?x0时,f(x)的右极限为A,记作f(x0?0)?lim?f(x)?A。
x?x0定义3:(x趋于无穷大时函数f(x)的极限)设f(x)在区间x?a (a?0)时有定
义,若x无限增大时,函数f(x)的值无限趋向于常数A,则称当x??时,f(x)以A为极限,记作limf(x)?A 。
x??左极限:设函数f(x)在(??,a]上有定义 ,若x???时,f(x)的值无限趋近于
常数A,则称当x???时,f(x)以A为极限,记作limf(x)?A 。
x???右极限:设函数f(x)在[a,??)上有定义 ,若x???时,f(x)的值无限趋近于
常数A,则则称当x???时,f(x)以A为极限,记作limf(x)?A 。
x???注意:①极限与左右极限的关系
x?x0limf(x)?A? f(x0?0)?f(x0?0)?A
x???x???limf(x)?A? limf(x)?limf(x)?A.
x??②讨论极限limf(x)时,与f(x)在x0处是否有定义无关,与函数值f(x0)
x?x0也无关。
2、极限的性质:(143页)
(1)唯一性:若limf(x)存在,则极限值唯一。
(2)有界性:若limf(x)?A(limf(x)?A),则f(x)在U(x0,?)内(xx?x0x??充分大时)是有界的;
(3)保号性: 设limf(x)?A,如果A?0(或A?0),则在U(x0,?)内,
x?x0有f(x)?0(或f(x)?0); 反之,如果在U(x0,?)内有,则必有A?0(或A?0). f(x)?0(或f(x)?0)
推广:设limf(x)?A,limg(x)?B,如果A?B,则在U(x0,?)内,有
x?x0x?x0 .
反之,如果在U(x0,?)内有f(x)?g(x),则必有A?B。 f(x)?g(x);
注意: 当x??时,保号性结论类似。 3、无穷小量与无穷大量:(146-149页) (1)无穷小量与无穷大量的概念及关系:
无穷小量:若limf(x)?0,则称函数f(x)为x?x0 (或x??)时的无穷小量。
x?x0(x??)(无穷小量是函数有极限的特殊情形,即limf(x)?0)
x?x0(x??)无穷大量:若x?x0 (或x??)时,f(x)无限变大,则称f(x)为
x?x0(或x??)时的无穷大量。(无穷大量是函数没有极限的特殊情形;即
x?x0(x??)limf(x)??)
(2)值得注意的几个关系: ① 极限与无穷小量关系:
(其中?为无穷小,即lim??0); limf(x)?A?f(x)?A??,
②在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大量,则
1为无穷小量;f(x)若f(x) (f(x)?0)为无穷小量,则
01为无穷大量。 f(x)③若limf(x)??,则称f(x)在U(x0,?)(或x?M)内为无界函数。
x?x0(x??)即无穷大量必为无界函数,但无界函数不一定为无穷大量。
例如:f(x)?xsinx在(??,??)为无界函数,但当x??时,f(x)不是无穷大量。
(3)无穷小量的比较:设x??时, ?(x)?0 , ?(x)?0 且 lim?(x)?c,
x???(x) .
1)若c?0为常数,则称x??时?(x)与 ?(x)为同阶无穷小; 特别的:当c?1时,则称x??时?(x)与 ?(x)是等价无穷小,记作:
x??时?(x)?(x)。
2)若c?0,则称x??时?(x)是比 ?(x)高阶的无穷小,记作
?(x)?o(?(x)) ;
3)若c??,则称x??时?(x)是比 ?(x)低阶的无穷小。
(4)无穷小量的替换定理:
设x??时,?(x), ?(x),?1(x), ?1(x)都是无穷小量, 且?(x)?1(x)
?(x)?1(x),极限lim?1(x)?(x)?(x)?lim1存在,则lim。
x???(x)x???(x)x???(x)11
xx231?cosx2?1; lim1?x?1?lim3??1 例:lim?limx?0tan2xx?0x2x?0x2?3xx?0x2?3x29
三、函数的连续性
1、连续的概念:(149-147页)
名 称 函数在点x0连续 定 义 若 limf(x)?f(x0),则称f(x)在点x0处连续. x?x0或若 lim?y?0?lim?f(x0??x)?f(x0)??0 ?x?0?x?0则称f(x)在点x0处连续. .
左连续 右连续 函数在点x0处连续的充要条件 若lim?f(x)?f(x0),称f(x)在点x0处左连续. x?x0 若lim?f(x)?f(x0),称f(x)在点x0处右连续. x?x0f(x)在点x0处左连续且右连续.即 lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0) x?x0x?x0 函数在(a,b)内连续 若f(x)在(a,b)内的每一点均连续,称f(x)在(a,b)内连续. 函数在[a,b]上连续 若f(x)在(a,b)内连续,且在点a右连续(lim, f(x)?f(a))?x?a在点b左连续(lim,称函数在[a,b]上连续. f(x)?f(b))?x?b2、间断点及其分类:(147-151页) 定义: 函数f(x)的不连续点叫其间断点. 分类:设x0为f(x)的间断点
(1)若f(x0?0)及f(x0?0)均存在,则x0叫f(x)的第一类间断点,
若f(x0?0)=f(x0?0)(即limf(x)存在)x0叫f(x)第一类可去间断
x?x0点;
(2)若f(x0?0)及f(x0?0)有一个不存在,则x0叫f(x)的第二类间断点. 3、连续函数的运算:(148页)
一元函数微积分学内容提要
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