高等数学教学教案
第三章 一元函数积分学及其应用
授课序号01
教 学 基 本 指 标 教学课题 第三章 第一节 不定积分的概念与性质 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 原函数存在性 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 原函数，不定积分概念，不定积分性质 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解原函数与不定积分的概念及性质。 掌握不定积分的基本公式。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、原函数 已知f?x?是定义在某区间I内的函数， 若存在函数F?x?，使得 F??x??f?x? 或者 dF?x??f?x?dx,x?I， 则称F?x?为区间I上f?x?的原函数. 2、不定积分 在区间I上, 函数f?x?的带有任意常数项的原函数称为f?x?在区间I上的不定积分, 记作?f?x?dx， 即 ?f?x?dx?F?x??C， 其中符号?称为积分号，称f?x?为被积函数，f?x?dx称为被积表达式，x称为积分变量，F?x?是f?x?的一个原函数. 二、定理与性质： 基本积分公式 (1)0dx?C； (2) ???kdx?kx?C; x??1dx?lnx?C; (3)?xdx??C????1?; (4)?x??1(5)(6)dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C; ??dx1?x2?arcsinx?C??arccosx?C; (7)cosxdx?sinx?C; (8)sinxdx??cosx?C; 22(9)secxdx?tanx?C; (10)cscxdx??cotx?C; ???(11)secxtanxdx?secx?C; (12)cscxcotxdx??cscx?C; ??ax?C. (13)?edx?e?C; (14)?adx?lnaxxx性质1 ( 积分与微分关系) 设函数f?x?及f'?x?的原函数存在，则 （1）（2）ddx??f?x?dx??f?x?； ?f??x?dx?f?x??C. ???f?x???g?x??dx???f?x?dx???g?x?dx， 性质2 （线性运算） 设函数f?x?及g?x?的原函数存在，则 其中?,?为任意常数. 三、主要例题： 例 1 设f(x)和f'(x)均连续，问?例2 求xdx(???1,x?0). ddx??f(x)dx? 与 ?f?(x)dx是否相等? ?例3 求1?1xdx（即?dx）. ?xx例4 求adx?(a?1,a?0). 例5 设曲线通过点?1,1?，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方，求此曲线的方程. 例6 求下列不定积分: (1) 4x?(x?3?2?2sinx?3cosx)dx； (2)?(1?x)4dx； x（3）??x?1?3dx; （4）x2?1?x21?x4dx; x41?x?x2dx； （5）?dx； （6）?1?x2x1?x2??2x?3xdx； （7）?2edx； （8） ?5xxxx??2cos2x1dx. （11）?dx； （12）?22xxcosxsinxsin2cos22222（9）tanxdx； （10）sindx； 例7 已知F?(x)? 1?x1?x3,F(0)?1.求满足条件的函数F(x).
授课序号02
教 学 基 本 指 标 教学课题 第三章 第二节 不定积分的换元法与分部法 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 第二换元法 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 不定积分第一换元法，分部积分法 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 掌握不定积分的换元法和分部积分法。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、第一类换元法的关键是：在求g?x?dx时,如何将g?x?化为g?x??f???x?????x?的形式.其具体作法可?按如下步骤进行： （1）变换积分形式（或称凑微分），即（2）作变量代换u??(x)，有?f(x)dx??g[?(x)]??(x)dx； ?f(x)dx??g(u)du； ?（3）利用常用的积分公式求出g(u)的原函数F(u)，即得g(u)du?F(u)?C, 从而?f(x)dx?F(u)?C； ?f(x)dx?F[?(x)]?C. （4）回到原来的变量，将u??(x)代入即得2、如果在积分?f(x)dx中，令x??(t)，且?(t)可导，??(t)?0，则有 ?f(x)dx??f??(t)???(t)dt ?1?1?f(x)dx????(x)?C，其中?(x)为x??(t)的??若上式右端易求出原函数?(t)，则得第二换元积分公式反函数，即t??(x). 其具体作法可按如下步骤进行. ?1?(1) 变换积分形式，即直接或间接地令x??(t)，且保证?(t)可导及??(t)?0，于是有 ?f(x)dx??f??(t)???(t)dt； （2）求出f从而??(t)???(t)的原函数?(t)，即得?f??(t)???(t)dt??(t)?C， ?f(x)dx??(t)?C； ?1（3）回到原来变量，即由x??(t)解出t???1(x)，从而得所求的积分 ?f(x)dx?????(x)???C 3、分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，它是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法. 若u?u?x?,v?v?x?具有连续导数，则?uv??u?v?uv?，即uv???uv??u?v. 两边积分，得??????uvdx?uv??dx??u?vdx，即?uv?dx?uv??u?vdx. 也可写作 二、定理与性质： 定理1 设f?u?具有原函数F?x?，u???x?可导，则F式 ?udv?uv??vdu. ???x??是f???x?????x?的原函数，有换元公?. ?f???x?????x?dx????f?u?du?u???x?定理2 设x???t?是单调的可导的函数，且???t??0，又f???t?????t?具有原函数??t?，则?是f?x?的原函数，即有换元公式 ???x???1?. f?x?dx?????1?x???C???f???t?????t?dt???t???1?x? 三、主要例题： 5例1 求(3x?2)dx. ?例2 求不定积分1?1?2xdx. 例3 求不定积分： (1) lnx?xdx; (2) 1?xlnxlnlnxdx.
同济大学高等数学教案第三章一元函数积分学及其应用
