2019-2020年高二数学二项式定理 人教版(I)
【教学内容】
第十章 排列 组合 和概率
二项式定理
要求：（1）了解二项式、二项展开式、二项式系数等基本概念；理解和掌握二项式定理，掌握二项展开式的通项公式及其应用，会利用“杨辉三角”展开二项式。
（2）理解和掌握二项式系数的性质，能够运用二项式宣中蕴含的数学思想，计算和证明一些简单的问题。 【知识提要】 (一)重要概念
1、二项式定理
二项式系数（，r=0,1,2……n）
0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N)
二项展开式 二项展开式的通项 2、二项展开式中
01rn?Cn???Cn???Cn?2n （1）各项的二项式系数之和 Cn（2）展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：
0213Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1
（二）学习提示
1、二项式定理实际上是二项式的n次方公式，是初中所学公式(a+b)=a+2ab+b的一般情况。
使用二项式定理时，a、b可以为任何数、式，包括在高三时将要学到的复数。
2、二项展开式的通项表示(a+b)展开式中的第项r+1项。应用时应注意结构上的统一。如要求“(1+x)展开式中第4项”。即T4（不是T4+1，切记）。则“”将T4写成T3+1的好处是求得公式结
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n
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构上的统一，也提醒解题时，不要把T4中的二项式系数写成。
01rn?Cn???Cn???Cn?2n的证明。 3、关于公式Cn课本采用了“赋值法”，这是一个常用的方法。我们对式子(a+b)中的a，b赋以值1,-1,……，可以求得展开式中的系数和，奇数项、偶次项系数和参见例5
也可以构造一个问题（情景）来解决。
记集合A={1,2,3,……,n}是一个n元集合，它的r元子集(r=0,1,2,…n)有个（空集有个，
012rn?Cn?Cn???Cn???Cn1元素有个，以此类推），则它的所有子集共有Cn个。
n
另一方面，从元素的角度考虑：元素“1”可以“选择进入”或“选择不进入”A的子集，同理，每个元素都和元素“1”一样，有2种选择方式，这样，可以求得A的子集个数为个。
【典型例题分析】
例1、求(1-2x)展开式中第4项的二项式系数、系数。 分析：先求出T4
解：T4=T3+1= ∴二项式系数为=35 系数为=-280
回顾：注意“系数”与“二项式系数”是不同的概念，在二项展开式中不论a、b的取值如何，第r+1项(Tr+1)的二项式系数总是。
例2、（1）求(2x+1)展开式中含x的项。 （2）求的展开式中含x的项 （3）求展开式中含x的项
（1）分析与解：(2x+1)=(2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) 按多项式乘法公式，展开式的每一项都是形如(2x)1的8次齐次式（其中m+n=8）。 要出现x，只要有3个因式选用“2x”其余5个选用“1”参与运算即可。 ∴所求的项为。 （2）分析与解：
（法一）本题无法直接象上题那样求解，可考虑用通项公式 Tr+1=，令9-2r=3，从而得r=3，即T4=。
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mn
84
38
3
7
n个
19x2?19(x2?1)9312
)?（法二）(x?)?(要求展开式中的x项即求分子展开式中的x项，9xxx即T=
（3）分析与解：
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42122144(x2)2?C2(?2)2?C4x?C3(x)2?C1(?2)?C4x （法一）直接求解：含x项为C24
（法二）(x2?x?2)4?(x?2)4(x?1)4 其中展开式的通项为 展开式的通项为
要使积为x项，则4-r+4-k=4 ∴k+r=4
044041332222x(?1)0C4x2?C4x(?1)1?C4x23?C4x(?1)2?C4x ∴x项为C44
4
313404x(?1)3?C4x?2?C4(?1)4?C4x ?C4 =16x4?(?128x4)?144x4?(?32x4)?x4 = x
回顾：1、选题目的，遇到三项式或多项式的n次展开，要求其中某一项的，如“求(x+y+z)
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8
4
223333xC6yC3z?560x2y3z3）展开式中的xyz项”，可采用直接求解法，（结果为C8。具体思路参
见题（1）的解法或课本P105。
2、若要求将(x+y+z)展开，可考虑用两次二项式定理：如(x+y+z)将(y+z)看作一项。展开后再将(y+z)展开。
发展题：1、求(x+y+z)展开后的项数。（答案45项） 2、求展开式中的常数项（-51）
511?1222(?1)5?C5x?C4x?(?1)3?C5x?C3(x?1)2?(?1) （略解）常数项即为C58
r
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例3、已知的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中的各有理项。 分析：先应解出n，再利用二项展开式的通项，求有理项。（整式与分式都为有理式）
0(x)n?(解：T1?T0?1?Cn124x1)0?(x)n，系数为1
1 T2?T1?1?1Cn(x)n?111(x)n?1?(4)?Cn?4，系数为
22xx12(x)n?2?(4)?Cn，系数为
42xx12 T3?T2?1?2Cn(x)n?2 由T1，T2，T3的系数成等差数列 ∴ ∴n-9n+8=0
得n=8（n=1舍去，至少有3项，∴n≥2）
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2020-2021年高二数学二项式定理 人教版(I)
