2019-2020年高二数学二项式定理 人教版(I)
【教学内容】
第十章 排列 组合 和概率
二项式定理
要求:(1)了解二项式、二项展开式、二项式系数等基本概念;理解和掌握二项式定理,掌握二项展开式的通项公式及其应用,会利用“杨辉三角”展开二项式。
(2)理解和掌握二项式系数的性质,能够运用二项式宣中蕴含的数学思想,计算和证明一些简单的问题。 【知识提要】 (一)重要概念
1、二项式定理
二项式系数(,r=0,1,2……n)
0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N)
二项展开式 二项展开式的通项 2、二项展开式中
01rn?Cn???Cn???Cn?2n (1)各项的二项式系数之和 Cn(2)展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和:
0213Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1
(二)学习提示
1、二项式定理实际上是二项式的n次方公式,是初中所学公式(a+b)=a+2ab+b的一般情况。
使用二项式定理时,a、b可以为任何数、式,包括在高三时将要学到的复数。
2、二项展开式的通项表示(a+b)展开式中的第项r+1项。应用时应注意结构上的统一。如要求“(1+x)展开式中第4项”。即T4(不是T4+1,切记)。则“”将T4写成T3+1的好处是求得公式结
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n
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构上的统一,也提醒解题时,不要把T4中的二项式系数写成。
01rn?Cn???Cn???Cn?2n的证明。 3、关于公式Cn课本采用了“赋值法”,这是一个常用的方法。我们对式子(a+b)中的a,b赋以值1,-1,……,可以求得展开式中的系数和,奇数项、偶次项系数和参见例5
也可以构造一个问题(情景)来解决。
记集合A={1,2,3,……,n}是一个n元集合,它的r元子集(r=0,1,2,…n)有个(空集有个,
012rn?Cn?Cn???Cn???Cn1元素有个,以此类推),则它的所有子集共有Cn个。
n
另一方面,从元素的角度考虑:元素“1”可以“选择进入”或“选择不进入”A的子集,同理,每个元素都和元素“1”一样,有2种选择方式,这样,可以求得A的子集个数为个。
【典型例题分析】
例1、求(1-2x)展开式中第4项的二项式系数、系数。 分析:先求出T4
解:T4=T3+1= ∴二项式系数为=35 系数为=-280
回顾:注意“系数”与“二项式系数”是不同的概念,在二项展开式中不论a、b的取值如何,第r+1项(Tr+1)的二项式系数总是。
例2、(1)求(2x+1)展开式中含x的项。 (2)求的展开式中含x的项 (3)求展开式中含x的项
(1)分析与解:(2x+1)=(2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) 按多项式乘法公式,展开式的每一项都是形如(2x)1的8次齐次式(其中m+n=8)。 要出现x,只要有3个因式选用“2x”其余5个选用“1”参与运算即可。 ∴所求的项为。 (2)分析与解:
(法一)本题无法直接象上题那样求解,可考虑用通项公式 Tr+1=,令9-2r=3,从而得r=3,即T4=。
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mn
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38
3
7
n个
19x2?19(x2?1)9312
)?(法二)(x?)?(要求展开式中的x项即求分子展开式中的x项,9xxx即T=
(3)分析与解:
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42122144(x2)2?C2(?2)2?C4x?C3(x)2?C1(?2)?C4x (法一)直接求解:含x项为C24
(法二)(x2?x?2)4?(x?2)4(x?1)4 其中展开式的通项为 展开式的通项为
要使积为x项,则4-r+4-k=4 ∴k+r=4
044041332222x(?1)0C4x2?C4x(?1)1?C4x23?C4x(?1)2?C4x ∴x项为C44
4
313404x(?1)3?C4x?2?C4(?1)4?C4x ?C4 =16x4?(?128x4)?144x4?(?32x4)?x4 = x
回顾:1、选题目的,遇到三项式或多项式的n次展开,要求其中某一项的,如“求(x+y+z)
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223333xC6yC3z?560x2y3z3)展开式中的xyz项”,可采用直接求解法,(结果为C8。具体思路参
见题(1)的解法或课本P105。
2、若要求将(x+y+z)展开,可考虑用两次二项式定理:如(x+y+z)将(y+z)看作一项。展开后再将(y+z)展开。
发展题:1、求(x+y+z)展开后的项数。(答案45项) 2、求展开式中的常数项(-51)
511?1222(?1)5?C5x?C4x?(?1)3?C5x?C3(x?1)2?(?1) (略解)常数项即为C58
r
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例3、已知的展开式中,前3项的系数成等差数列,求展开式中的各有理项。 分析:先应解出n,再利用二项展开式的通项,求有理项。(整式与分式都为有理式)
0(x)n?(解:T1?T0?1?Cn124x1)0?(x)n,系数为1
1 T2?T1?1?1Cn(x)n?111(x)n?1?(4)?Cn?4,系数为
22xx12(x)n?2?(4)?Cn,系数为
42xx12 T3?T2?1?2Cn(x)n?2 由T1,T2,T3的系数成等差数列 ∴ ∴n-9n+8=0
得n=8(n=1舍去,至少有3项,∴n≥2)
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2020-2021年高二数学二项式定理 人教版(I)
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