《现代控制理论》MOOC课程
1.3状态向量的线性变换
1.3状态向量的线性变换
三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型
系统的特征向量
对于n×n维矩阵A，若存在一个不为零的n维向量????和一个标量????，使得：
(?????????)????=0
则称????为矩阵A的特征值????所对应的特征向量。计算特征向量，就是求解齐次代数方程
(?????????)????=0
由齐次代数方程解的性质，系数矩阵奇异时，有无穷多组非零解。一个特征根，对应于无穷多个特征向量。
1.3状态向量的线性变换
三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型
对角规范型
对于给定系统??=????+????，设其特征值????, ????,?,????为两两互异，由它们的特征向
量组成变换阵??=????,????,?,????，那么系统的状态方程在变换??=???????下必可化为如下形式的对角规范型：
??1
??=
证：对系统进行线性变换
??2
?
??????=
???,??+??
???????
??????=????
可得到一个新的状态方程
??=
??????????????+??????
1.3状态向量的线性变换
三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型
????=??????,????,?,????=??????,??????,?,??????=????????，????
??=????，????,?,????
????
??
?
=??
????
????
方程两边同乘?????可得：
????
??
???
????=
????
?
证毕
????
????????,?,????????
?
????
1.3状态向量的线性变换
三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型
讨论?在对角规范型下，各状态变量间实现了完全解耦，可表示为n个独立的状态变量方程。
??????1??1?2=??2
??1
???
?2
+???????????
????
现代控制理论 状态向量的线性变换：对角规范型
