228xy320.椭圆C:2?2?1a?b?0??将圆O:x2?y2?5的圆周分为四等份，且椭圆C的离心率为.
ab2（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点M,N，且MN的中点为P?x0,直线l?与x轴交于点Q?m,0?，求m的取值范围.
??1??，线段MN的垂直平分线为l?，4??315315?x22?,2【答案】（1）（） ?y?1????88?4?【解析】 【分析】
（1）先求解A点坐标，代入椭圆方程，结合离心率为32，即得解.
y?（2）设M?x0，得到直线l?的方程为1,y1?，N?x2,y2?，利用点差法得到kl??x1?3?Q(x0,0)，利用P?x0,?在椭圆内部得到x0范围，即得解.
4?4?【详解】（1）不妨取第一象限的交点为A.
o. 由椭圆C将圆O的圆周分为四等份，知?xOA?4513x?，得到x04?2525?A所以??5,5??. ??因为点A在椭圆C上，所以
44??1.① 225a5b因为e?3222.② ，所以a?4b①②联立，解得a2?4，b2?1.
x2所以椭圆C的方程为?y2?1.
4?x12?4y12?4,（2）设M?x 1,y1?，N?x2,y2?，则?22x?4y?4.2?216
yyx1x1?21?2???. 两式相减，得
x?x4y?y1212又因MN的中点为P?x0,??1?1x?x?2x. y?y?，所以，120?124?2y?y?x1x1212k??????x. 所以直线l的斜率l0x?x4y?y1212当x0?0时，直线l的方程y?当x01，直线l?即y轴，此时m?0. 41. x0?0时，直线l?的斜率kl??1113y??x?xy?x????. 所以直线l的方程为0，即
4xx400令y?0，则x?3x0. 4221??x01??因为点P?x0,?在椭圆内部，所以????1. 4??4?4?所以x?0??????15??15?3?315??315,0U0,x??,0U0,. ，所以??????0????????2??2?4?8??8??315315?综上所述，m的取值范围为???8,8??.
??【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
xxlnx?ax??，f??x?是f?x?的导函数. 21.已知函数f?（1）若a??1，求f?x?的最值；
x?f?x?1. （2）若a?1，证明：对任意的x????1,a?，存在x2??1,a?，使得f?1?12【答案】（1）最小值为?1，没有最大值；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求函数f?x?的定义域，求f'?x?，利用f'?x?的正负，判断f?x?的单调性，求出f?x?的最值；
'?x?lnx??a1??（2）求出f，易知f?x?在?0,???上单调递增，所以f??x?在?1,a?上单调递增，求出
f??x?的取值范围，得到f'?x??0，所以f?x?在?1,a?上单调递增，再求出f?x?的取值范围.由题意，
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问题转化为证明f??x?的最大值小于等于f?x??1的最大值成立. 【详解】（1）函数f?x?的定义域为?0,???.
??lnx，x?0. 当a??1时，f??x所以在?0,1?上f??x??0，在?1,???上f??x??0， 所以f?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增. 因为f?1???1，所以f?x?的最小值为?1，没有最大值.
?x?lnx??a1. ??（2）由题意得f???1?fx?fa因为f??x?在?1,a?上单调递增，所以f， ???????x?a?1,lna?a?1. 即f????因为a?1且1?x?a，所以f??x??0，所以f?x?在?1,a?上单调递增.
???1?a?1,lana?a?11?f??x?f??a. ??所以f??，即fx??22依题意知，只需l成立即可. na?a?1l?ana?a?12a?1laa???0要证l成立，即证?成立. ??nna?a?1l?ana?a?1a?1laa???0na?a?0因为a?1，所以a?，所以?， ??n1?0，l从而，原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查函数与方程，考查不等式，考查转化与化归的数学思想，属于困难的题目.
?x?3cos?，（?为参数）.以坐标原点为极点，x轴22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?3sin?正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l经过点A?2,（1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；
???3??，且与极轴所成的角为?. ?D?AE?26（2）设直线l与曲线C交于D,E两点，若A，求直线l的普通方程.
??x?1?tcos?,.?. 【答案】（1）x?y?9（t为参数）.（2）y?3或3x??y23?0??y?3?tsin?22【解析】
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【分析】
（1）曲线C的参数方程消去参数即得普通方程，根据直线参数方程的定义表示即可； （2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，得到韦达定理，由参数方程的几何意义可以得到即可得解. AD?AE?t?t?t?t?4tt??1212122222【详解】（1）由参数方程得x， ?y?9cos?9sin?922. 所以曲线C的普通方程为x?y?92???设点A的直角坐标为?x,y?.则x?2cos??1，y?2sin?3. 33??x?1?tcos?,即A1,3，故直线l的参数方程为?（t为参数）.
y?3?tsin???????x?1?tcos?,22223sin??2cos?t?5?0. （2）将?代入x，得t??y?9??y?3?tsin?.??. ??23sin??2cos???200??2?t??23sin?2cos，t1t2??5. 设t1,t2是方程的两个根，则t12. 所以A?23sin?2cos?202?6D?AE?t?t?t?t?4tt??121212所以23sin?2cos2????????2?? ?202?4??2整理得t或t， an??0an???3. 所以直线l的方程为y?3或3x??y23?0【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
?a?x?b?4，a,b?R?. 23.已知存在x0?R，使得x00（1）求a?b的取值范围；
44. （2）证明：a?b?32【答案】（1）?4,???（2）见解析 【解析】 【分析】
??xb???ab（1）利用绝对值不等式的性质可得xa，结合题设条件即得解；
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22a?ba?b??22??224422（2）利用均值不等式a，?b?a??b????2a?b?2，即得解.
22?a?x?b?x?a?x?b????【详解】（1）因为x
?a?b?a?b，
?a?x?b?4因为存在x0?R，使得x，所以a， ?b?400即a?b的取值范围是?4,???. . （2）由（1）知a?b?4因
22a?b22??. 4422a?b?a?b?????222a?b??422又a? b???822282所以a?b??32
244当且仅当a?时等号成立. b?2【点睛】本题考查了绝对值不等式，均值不等式的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
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2024年高考文科数学模拟试题及答案(解析版) (3)
