面到达eC关于球心对称的位置eC'所在平面，此时注入水的体积V?V球?2?得解.
13?，根据注水速度即可642A?1,OB?R,BC??2【详解】设球半径为R，如图假设水面在eC所在位置，则C 42243125???R?球体积：V 球362?()?(R?1)?R? 由球截面性质：R252
当再次测得水面圆的直径为4cm时，水面到达eC关于球心对称的位置eC'所在平面
?V?2?此时注入水的体积V球99?6?99
故经过的时间t??6故答案为：99
13?99?= 66【点睛】本题考查了球的截面性质和体积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题
17.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?2，S3?18. （1）求?an?的通项公式； （2）设bn?1an?30，数列?bn?的前n项和为Tn，求Tn的最小值. 24n?2；【答案】（1）a（2）?225 n?【解析】 【分析】
4n?2； （1）求出公差d，根据通项公式即可求出an?11
2n?31（2）由（1）可写出b，则数列?bn?是等差数列.根据通项公式求出使得bn≤0的n的最大值，n?再根据前n项和公式求出Tn（或根据前n项和公式求出Tn，再根据二次函数求最值，求出Tn的最小值）. 【详解】（1）方法一：由S3?a1?a3?3?2?18，
又因为a1?2，所以a3?10.
所以数列?an?的公差d?a3?a12?10?22?4，
所以an?a1??n?1?d?2??n?1??4?4n?2. 方法二：设数列的公差为d.
则S13?3a1?2?3?2d. ?3?2?3d?18. 得d?4.
所以an?a1??n?1?d?2??n?1??4?4n?2. （2）方法一：由题意知b?1a??301n2n2?4n?23????02n31. 令??bn?0,0.得?2n?31?0,29?b?解得?2?n?1??31?0.?n?31n?1?22. 因为n?N*，所以n?15. 所以Tn的最小值为
T15?b1?b2?...?b15???29????27??...???1???225. 方法二：由题意知b11n?2an??302?4n?23????02n31. 因为bn?1?bn???21?n???31????2n?31??2， 所以数列?bn?是首项为b1??29，公差为2的等差数列. 所以T???29n?n?1?nn2?2?n2?30n??n?152?2?25. 所以当n?15时，数列?bn?的前n项和Tn取得最小值，
最小值为T15??225.
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【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查学生的运算求解能力.
18.某校的3000名高三学生参加了天一大联考，为了分析此次联考数学学科的情况，现随机从中抽取15名学生的数学成绩（满分：，并绘制成如图所示的茎叶图.将成绩低于90分的称为“不及格”，不低于120150分）分的称为“优秀”，其余的称为“良好”.根据样本的数字特征估计总体的情况.
（1）估算此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩.
（2）估算此次联考该校高三学生数学成绩“不及格”和“优秀”的人数各是多少.
（3）在国家扶贫政策的倡导下，该地教育部门提出了教育扶贫活动，要求对此次数学成绩“不及格”的学生分两期进行学业辅导：一期由优秀学生进行一对一帮扶辅导，二期由老师进行集中辅导.根据实践总结，优秀学生进行一对一辅导的转化率为20%；老师集中辅导的转化率为30%，试估算经过两期辅导后，该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数. 注：转化率?辅导前不及格人数?辅导后不及格人数 ?100%辅导前不及格人数【答案】（1）112分；（2）不及格的人数为200人，优秀的人数为1000人；（3）112人 【解析】 【分析】
（1）根据题意即求15个数的平均数；
（2）根据题意，在随机抽取的15人中，不及格的人数为1，优秀的人数为5，所以不及格率为为
115，优秀率
1，分别乘以3000即得； 3（3）根据一期辅导的转化率，求出一期辅导后不及格的人数，再根据二期辅导的转化率，求出二期辅导后不及格的人数.
【详解】（1）因为抽取的15名学生的数学学科的平均成绩为
1?1?0?3?5?6?8?0?3?6?8?2?4?6?3?5?8?2?9?3?10?4?11?3?12?2?13?10??????15?112.
所以依此估计此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩为112分.
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（2）依题意知，随机抽取的15人中，不及格的人数为1，优秀的人数为5. 所以不及格率为
115，优秀率为
1. 31?200， 15000?所以估计在此次联考中该校高三学生数学成绩不及格的人数为3000??1000. 优秀的人数为3（3）由（2）知，不及格人数为200.
13200?x20?，解得x?160. 200100160?y30?设二期辅导后不及格人数为y，则，解得y?112. 160100设一期辅导后不及格人数为x，则
所以估计经过两次辅导后，该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数为112.
【点睛】本题考查茎叶图，考查用样本估计总体，考查学生对实际问题的分析能力和解决能力. D?CD?ABCD中，SA?平面A，A，BCD，底面ABCD是直角梯形，ADB//C19.如图，在四棱锥S.点E是线段BC上一点，且CE?C?2AD?4CD?4且B1BC. 8
C?平面SED. （1）求证：平面SA（2）若SD?22，在线段BS上是否存在一点F，使得F到平面SAC的距离为值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】 【分析】
56？若存在，求SF的
5 8an?CAD?tan?EDC?，证明?CAD??EDC（1）利用R和R中，t（或利用tVEDCtVCADCAD??EDC，证明?），从而证明A，又易知S，可证DC?DEE?平RtV:CADRtVEDCA?DEC?平面SED； 面SAC，即可证明平面SA1214
V（2）根据V，可求点B到平面SAC的距离为d，由相似性可得SFBS?AC?S?ABC5，可求出SF，所
6SB?d以存在这样的点F.
【详解】（1）方法一：因为AD?2CD，EC?12CD， 所以tan?CAD?tan?EDC?12， 所以?CAD??EDC. 因为AD?CD，所以??CAD?ACD?90o，所以?EDCA??CD?90o， 所以AC?DE. 因为SA?平面ABCD，DE?平面ABCD，所以SA?DE. 又SAA?CA?，所以DE?平面SAC.
而DE?平面SED，所以平面SAC?平面SED. 方法二：在?CAD与?EDC中，ECCD?CDDA，?ECD??ADC?90o， 所以?CADE:?DC. 所以?CAD??EDC.（以下证明同方法一） （2）存在这样的点.
由SD?22，AD?2，得SA?2. 又易知AB?5，AC?5，SB?3.
设点B到平面SAC的距离为d，因为VBS?AC?VS?ABC， 所以111132??2?5??d32??4?1?2. 解得d?455. 5由相似性可得
SF3?645，解得SF?58. 5所以存在这样的点，使得F到平面SAC的距离为556.此时SF?8. 【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查立体几何中的存在性问题，属于较难的题目.
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2020年高考文科数学模拟试题及答案(解析版) (3)
