令t?f?a?,则f?t??1,等价于??t?1?t?1?3t?1或?,求出t值,同理求a?log.
3t?1【详解】由f?f?a???1,令t?f?a?,则f?t??1. 即??t?1?t?1?3t?1或??log3t?1,解得t?0或t?3.
当t?0,即f?a??0时,有??a?1?a?1?3a?0或??log3a?0,无解;
当t?3,即f?a??3时,有??a?1?a?1a或?,解得a?1或?3?3?log3a?3a?27.
综上,a?1或a?27. 故选:A.
【点睛】本题考查分段函数,考查学生的逻辑推理能力,注意函数的定义域.
10.在?ABC中,AB?2AC?2,P,Q为线段BC上的点,且uBuPur?uPuQQur?uuCur.若uAPuur?uAQuur?59,则?BAC?( ) A. 150o B. 120o
C. 60o
D. 30o
【答案】B 【解析】 【分析】
转化uAuuPr?uAuuQr??(uAuuBruBuPur)?(uAuuCr?uCuQur)?2cos?ABC?3x2?x2?59,结合余弦定cos?ABC?4?1?9x24,即可求解x,得到cos?ABC. 【详解】不妨设|uBuPur|??|uPuQur||uQuuCr|?x,?BC?3x
??uAuuPruAuuQr?(uAuuBBruuuruuuruuur?uAuuBru?AuuCr?uBuPur?u?AuuCrP)(?u?AuuBruAC?CuQu?rCQ?u)BuuPr?uCuQur
理6
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AC?BP?AC?AB?BP?BP?BPuuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AC?BP?BC?BP?BP?2cos?ABC?3x2?x2??cos?ABC??x2?51859
24?1?9x由余弦定理:c os?ABC?4联立得到:x?7 31o?cos?ABC????ABC?120
2故选:B
【点睛】本题考查了解三角形和向量综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
xe?2x的零点个数为( ) ??11.函数f?x2A. 0 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 1 C. 2 D. 3
xe?4x,令根据导数判断f?x?的单调性,再根据零点存在定理求零点的个数.求出f???'xx'xgxe??4x,?gxe??4?,ln4?上单调递减,在?ln4,???上单调递增,可求,可得g?x?在??????'f'?x?0?f,x,xx,?m?x??0有两个实数根,设为x121?2,可得f?x?在???,x1?上单调递增,在in?x1,x2?上单调递减,在?x2,???上单调递增.再求f?x?的特殊值判断即可.
. xe?2x的定义域为R,f?xe?4x【详解】函数f?????x2'x. xe??4x,?gxe??4令g????x'x??0,x?ln4令gx, ??'时,g?x??0;x?ln4时,g?x??0; ??xln4''?g?x?在???,ln4?上单调递减,在?ln4,???上单调递增,
7
即f'?x?在???,ln4?上单调递减,在?ln4,???上单调递增,且
''ln4. fx??fln4e?4ln4?4?4ln4?4?4lne?0????min?f'?x??0有两个实数根,设为x1,x2,且xln4?x1?2.
''?x?x1时,f'?x??0;x1?x?x2时,f?x??0;x?x2时,f?x??0,
?f?x?在???,x1?上单调递增,在?x1,x2?上单调递减,在?x2,???上单调递增.
?1?efe?2?0,0??0?1?0,fe2??8?0,fe3??18?0又f, ?????????1?f?1f0?0,0ff2?0,2ff3?0, ?????????????f?x?在??1,0,0,2,2,3上各有一个零点,?f?x?有3个零点. ?????故选:D.
【点睛】本题考查函数零点和导数的应用,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题.
,B,C的对边分别为a,b,c,内角A已知3,则?ABC中,b?7,c?5,ABC12.在?acosB?3bsinA?0的面积为( ) A. 153
4【答案】A 【解析】 【分析】
o利用正弦定理得到3,求出B?1,再利用sinC?sinB求解20sinAcosB?3sinBsin0A?sinC,cosCinA?sin(B?C),结合s得到sinA,最后由面积公式即得解
【详解】由正弦定理可得:3 sinAcosB?3sinBsin0A?又0 ?A??sinA?0?o ?3cosB?sinB?0?tan3B???B?120由正弦定理可得:sinC?sinB??又c?b?CB?,故C为锐角
.的B. 023153
2C. 153 D. 203 cbcb5353?
72148
?cosC?11 14?sinA?sin(??B?C)?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC15331133??????21421414
故S?bcsinA??7?5???ABC故选:A
121233153
144【点睛】本题考查了解三角形综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
二、填空题
213.抛物线x?4y 的焦点到准线的距离为________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义知,焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程x2?4y知,2p?4,p?2, 所以焦点到准线的距离为2.
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程,几何性质,属于容易题.
,B,C三位球迷赛前在一起聊天.A说:“甲队一定获胜.”B说:“甲14.甲、乙两支足球队进行一场比赛,A队不可能输.”C说:“乙队一定获胜.”比赛结束后,发现三人中只有一人的判断是正确的,则比赛的结果不可能是______.(填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个) 【答案】甲胜 【解析】 【分析】
分析若甲队获胜,可得出矛盾,即得解.
【详解】若甲队获胜,则A,B判断都正确,与三人中只有一人的判断是正确的矛盾,故甲不可能获胜. 故答案为:甲胜
【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理,考查了学生推理证明,综合分析的能力,属于基础题. 15.公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数,它所有的真因子(即
9
1,6,24,28,36除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.若从集合?中随机抽取两个数,则这两个数中有?完全数的概率是______. 【答案】
710
【解析】 【分析】
1,24,361,6,24,28,36?依次按照完全数的定义分析:1,6,24,28,36,得到集合?中?6,28?为完全数,??1,6,24,28,36不为完全数,在集合?中任取两个数有C?况,利用古典概型和互斥事件的概率公式即得解.
251,24,36?中任取两个数有C种情况,在集合?23种情
【详解】1没有除自身外的约数,因此1不为完全数; 6的真因子为1,2,3,1+2+3=6,故6为完全数;
24的真因子为1,2,3,4,6,8,12,1+2+3+4+6+8+12=36,故24不为完全数; 28的真因子为1,2,4,7,14,1+2+4+7+14=28,故28为完全数;
36的真因子为1,2,3,4,6,9,12,18,1+2+3+4+6+9+12+18=54,故36不为完全数;
1,24,361,6,24,28,36?不为完全数. 因此集合?中?6,28?为完全数,??1,6,24,28,36在集合?中任取两个数有C5?10种情况; ?21,24,36?中任取两个数有C3?3种情况; 在集合?22C37这两个数中有完全数的对立事件为取到的两个数都不是完全数,因此:p?1?2?
C510故答案为:
710
【点睛】本题考查了古典概型和互斥事件的概率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.
16.往一球型容器注入
13??cm3的水,测得水面圆的直径为4cm,水深为1cm,若以cm3/s的速度往该容器
66继续注水,当再次测得水面圆的直径为4cm时,则需经过______s. 【答案】99 【解析】 【分析】
222根据题意作出简图,由球截面性质:R,可求得R??r?d5,当再次测得水面圆的直径为4cm时,水210