令t?f?a?，则f?t??1，等价于??t?1?t?1?3t?1或?，求出t值，同理求a?log.
3t?1【详解】由f?f?a???1,令t?f?a?，则f?t??1. 即??t?1?t?1?3t?1或??log3t?1，解得t?0或t?3.
当t?0，即f?a??0时，有??a?1?a?1?3a?0或??log3a?0，无解；
当t?3，即f?a??3时，有??a?1?a?1a或?，解得a?1或?3?3?log3a?3a?27.
综上，a?1或a?27. 故选：A.
【点睛】本题考查分段函数，考查学生的逻辑推理能力，注意函数的定义域.
10.在?ABC中，AB?2AC?2，P,Q为线段BC上的点，且uBuPur?uPuQQur?uuCur.若uAPuur?uAQuur?59，则?BAC?（ ） A. 150o B. 120o
C. 60o
D. 30o
【答案】B 【解析】 【分析】
转化uAuuPr?uAuuQr??(uAuuBruBuPur)?(uAuuCr?uCuQur)?2cos?ABC?3x2?x2?59，结合余弦定cos?ABC?4?1?9x24，即可求解x,得到cos?ABC. 【详解】不妨设|uBuPur|??|uPuQur||uQuuCr|?x,?BC?3x
??uAuuPruAuuQr?(uAuuBBruuuruuuruuur?uAuuBru?AuuCr?uBuPur?u?AuuCrP)(?u?AuuBruAC?CuQu?rCQ?u)BuuPr?uCuQur
理6
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AC?BP?AC?AB?BP?BP?BPuuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AC?BP?BC?BP?BP?2cos?ABC?3x2?x2??cos?ABC??x2?51859
24?1?9x由余弦定理：c os?ABC?4联立得到：x?7 31o?cos?ABC????ABC?120
2故选：B
【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
xe?2x的零点个数为（ ） ??11.函数f?x2A. 0 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 1 C. 2 D. 3
xe?4x，令根据导数判断f?x?的单调性，再根据零点存在定理求零点的个数.求出f???'xx'xgxe??4x,?gxe??4?,ln4?上单调递减，在?ln4,???上单调递增，可求，可得g?x?在??????'f'?x?0?f,x，xx，?m?x??0有两个实数根，设为x121?2，可得f?x?在???,x1?上单调递增，在in?x1,x2?上单调递减，在?x2,???上单调递增.再求f?x?的特殊值判断即可.
. xe?2x的定义域为R，f?xe?4x【详解】函数f?????x2'x. xe??4x,?gxe??4令g????x'x??0,x?ln4令gx， ??'时，g?x??0；x?ln4时，g?x??0； ??xln4''?g?x?在???,ln4?上单调递减，在?ln4,???上单调递增，
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即f'?x?在???,ln4?上单调递减，在?ln4,???上单调递增，且
''ln4. fx??fln4e?4ln4?4?4ln4?4?4lne?0????min?f'?x??0有两个实数根，设为x1,x2，且xln4?x1?2.
''?x?x1时，f'?x??0；x1?x?x2时，f?x??0；x?x2时，f?x??0，
?f?x?在???,x1?上单调递增，在?x1,x2?上单调递减，在?x2,???上单调递增.
?1?efe?2?0,0??0?1?0,fe2??8?0,fe3??18?0又f， ?????????1?f?1f0?0,0ff2?0,2ff3?0， ?????????????f?x?在??1,0,0,2,2,3上各有一个零点，?f?x?有3个零点. ?????故选：D.
【点睛】本题考查函数零点和导数的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
,B,C的对边分别为a,b,c，内角A已知3，则?ABC中，b?7，c?5，ABC12.在?acosB?3bsinA?0的面积为（ ） A. 153
4【答案】A 【解析】 【分析】
o利用正弦定理得到3，求出B?1，再利用sinC?sinB求解20sinAcosB?3sinBsin0A?sinC,cosCinA?sin(B?C)，结合s得到sinA，最后由面积公式即得解
【详解】由正弦定理可得：3 sinAcosB?3sinBsin0A?又0 ?A??sinA?0?o ?3cosB?sinB?0?tan3B???B?120由正弦定理可得：sinC?sinB??又c?b?CB?，故C为锐角
.的B. 023153
2C. 153 D. 203 cbcb5353?
72148
?cosC?11 14?sinA?sin(??B?C)?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC15331133??????21421414
故S?bcsinA??7?5???ABC故选：A
121233153
144【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题
213.抛物线x?4y 的焦点到准线的距离为________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程x2?4y知，2p?4，p?2， 所以焦点到准线的距离为2.
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题.
,B,C三位球迷赛前在一起聊天.A说：“甲队一定获胜.”B说：“甲14.甲、乙两支足球队进行一场比赛，A队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 【答案】甲胜 【解析】 【分析】
分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
【详解】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜. 故答案为：甲胜
【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题. 15.公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即
9
1,6,24,28,36除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合?中随机抽取两个数，则这两个数中有?完全数的概率是______. 【答案】
710
【解析】 【分析】
1,24,361,6,24,28,36?依次按照完全数的定义分析：1，6，24，28，36，得到集合?中?6,28?为完全数，??1,6,24,28,36不为完全数，在集合?中任取两个数有C?况，利用古典概型和互斥事件的概率公式即得解.
251,24,36?中任取两个数有C种情况，在集合?23种情
【详解】1没有除自身外的约数，因此1不为完全数； 6的真因子为1，2，3，1+2+3=6，故6为完全数；
24的真因子为1，2，3，4，6，8，12，1+2+3+4+6+8+12=36，故24不为完全数； 28的真因子为1，2，4，7，14，1+2+4+7+14=28，故28为完全数；
36的真因子为1，2，3，4，6，9，12，18，1+2+3+4+6+9+12+18=54，故36不为完全数；
1,24,361,6,24,28,36?不为完全数. 因此集合?中?6,28?为完全数，??1,6,24,28,36在集合?中任取两个数有C5?10种情况； ?21,24,36?中任取两个数有C3?3种情况； 在集合?22C37这两个数中有完全数的对立事件为取到的两个数都不是完全数，因此：p?1?2?
C510故答案为：
710
【点睛】本题考查了古典概型和互斥事件的概率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
16.往一球型容器注入
13??cm3的水，测得水面圆的直径为4cm，水深为1cm，若以cm3/s的速度往该容器
66继续注水，当再次测得水面圆的直径为4cm时，则需经过______s. 【答案】99 【解析】 【分析】
222根据题意作出简图，由球截面性质：R，可求得R??r?d5，当再次测得水面圆的直径为4cm时，水210
2020年高考文科数学模拟试题及答案(解析版) (3)
