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例3、在?ABC中，AD、BE是两边上的高，垂足D、E分别在边BC、AC上，已知CE+CD=AB，求证：∠C为锐角。
例4、如图，平行直线EF、MN被相交直线AB、CD所截，请问图中有多少对同旁内角？其中互补的有多少对？
提示：分解为几个“三线八角”的基本图形。 答：16对，相等的有4 对。
例5、求证：一条直线与两条平行线中的一条相交，则也必与另一条相交。 提示：用反证法。
例6、证明：三角形三内角和等于180o。 提示：作辅助线，利用平角证明。
例7、两个角αβ的补角互余，则这两个角的和α+β的大小是＿＿＿。
例8、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F。
例9、在同一平面内有三条直线l1,l2,其中l1与,l2相交，l3与l1平行，请找出与这三条线等距离的点。
o
例10、如图（1），∠ABC=120o，∠BCD=85， ED,求∠CDE的度数。
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（2）∠ABC=25o，∠BCD=30，AB‖ED,求∠CDE的度数。 （3）∠ABC=125o，∠BCD=95o，AB‖ED,求∠CDE的度数。
o
例11、如图，AB‖CD，那么∠1?∠2+∠3?∠4+∠5= 。
逻 辑 推 理
一、知识要点 1、逻辑推理的基本依据：当对一个命题是否正确进行判断时，一个东西不能同时是什么又不量什么，不能同时又是甲又是乙，如果出现这种情况，就说明在逻辑上是矛盾的。
2、逻辑推理的一般解法：从某一个条件出发，根据其它条件进行正确推理，如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾，则这就是所要求的方案；如果得到互相矛盾的结果，就必须改换起始条件重新开始，直到得出满足条件的方案为止。 二、例题示范 1、直接推理
例1、在一张卡片上写有四句话，内容都是关于这四句话的： 1、在这张卡片上恰有一句话是错的。 2、在这张卡片上恰有两句话是错的。 3、在这张卡片上恰有三句话是错的。 4、在这张卡片上恰有四句话是错的。
问这张卡片上到底有几句话是错的，它们是哪几句？
例2、在国际广播电台工作的李铃、张兰和刘英分别会说俄语、法语和日语（不一定按顺序）。会说法语的打乒乓球的常赢刘英，刘英是会说俄语的人的表妹，张兰的学历比会说法语的高。谁会说俄语？
例3、一个星期六的晚上，小丁约小张星期日一起去国际展览中心看电脑展。小张说：“如果明天不下雨，我在去图书馆查一个重要资料。”第二天，下起了毛毛细雨。小丁想，既然今天下雨了，小张一定不会去图书馆了。于是又去小张家，约他去看电脑展。谁知小张仍然去图书馆了。星期一见面后，小丁责备小张食言，既然天下雨了，为什么还去图书馆呢？但小张却说自己没有食言，
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而是小丁的推理不合逻辑。请问：究竟是小张食言了，还是小丁的推理不合逻辑呢？ 例4、现有四个人M、N、P、Q对W先生的藏书数目作一个估计： M说：W有五百本书； N说：W至少有一千本书； P说：W的书不到两千本： Q说：W最少有一本书。
这四个估计中只有一人是对的，问W先生究竟有多少本书？ 提示：P对，W一本书也没有。
例5、四个人L、M、N、O进行百米赛跑，问到比赛结果时，他们的回答是这样的： L：N第一，M第二；M：N第二，O第三；N：O最后，L第三。 如果每个从的两个答案中有且只有一个是对的，而且没有并列名次，那么谁在比赛中获得了第一？ 答案：N第一，L第二，O第三，M第四。
例6 一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士从不说谎，无赖永远说谎，我们遇到该国的居民A、B、C。
A说：如果C是骑士，则B是无赖；C说：A和我不同，一个是骑士，一个是无赖。 请问：这三个人，谁是骑士？谁是无赖？ 答案：A是无赖，B、C是骑士。
例7、A、B、C、D四个小孩在院子里玩耍，有一个小孩把玻璃打碎了。当问到这四个孩子时，这四个孩子的回答是：
A说：B打破的；B说：D打破的；C说：不是我打破的；D说：B说谎。 已知其中只有一个孩子说了真话，请问是谁打破了玻璃，谁说了真话？ 答案：D说了真话，C打破了玻璃。
例8、有一个旅社的某房间发生了凶杀案，公安人员经过仔细调查，落实到A、B、C、D四个嫌疑人身上，且可断定A、B、C、D中真正作案的人有且仅有两个，群众提供的可靠线索如下： （1）案发时间内，A、B两人有且只有一人去过那里； （2）案发时间内，B、D不会同时去那时；
（3）案发时间内，若C去过那里，则D必定同去； （4）案发时间内，若D没去那里，则A也不会去。 试判断他们四个人哪个是杀人犯？ 2、借助图表
例9、房间里有8 个人，每人都与其余的每个人握一次手，而且只握一次手，试问共握多少次手？ 提示：1、转化为凸八边形的对角线与边数之和为多少。2、用组合公式。
例10、证明：在任何6个人之间，或者有三个互相认识，或者有三个互相不认识。 提示：用连线法。
例11、A、B、C三人在北京、上海、广州的中学里教不同课程：数学、语文、外语。已知： （1）A不在北京工作，B不在上海工作； （2）在北京工作的人不教外语； （3）在上海工作的人教数学； （4）B不教语文。
问这些人各在什么城市教什么课程？
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例12、有50个女孩，她们的肤色是白的或浅黑色的，眼睛是蓝色的或褐色的。如果有14个是蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，那么褐色眼睛浅黑皮肤的女孩有几个？ 解：
肤色 白色 浅黑色
眼睛
b 蓝色 a
d 褐色 c
则50=a+b+c+d 因a=14 所以b+c+d=36 又b+d=31所以b+c+d+d=49 从而d=13.
第十五讲 周长与面积
一、知识要点
1、若把给定图形分成若干部分，则分成的各部分面积之和等于给定图形的面积。 2、常用的面积公式：（1）三角形 （2）平行四边形 （3）梯形 3、三角形面积的几个重要结论：
（1）等底等高的两个三角形面积相等；
（2）两个三角形的面积之比，等于它们的底高乘积之比； （3）两个等底的三角形的面积之比等于它们的高之比； （4）两个等高的三角形的面积之比等于它们的底之比。 4、面积问题的解答技巧：
（1）多边形的面积转化为三角形的面积；
（2）运用图形变换技巧，善于对图形进行分解与组合。 二、例题示范
例1、如图，将图（1）中a?b的矩形剪去一些小矩形得图（2），图（3），分别求出各图形的周长，其中EF=c。
图（1） 图（2） 图（3）
例2、一个矩形内有一个圆（如图），请你用一条直线同时将圆和矩形的周长二等分（说明方法）。
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例3、如图，?ABC中有一个凸五边形A1B1C1D1E1，试证明：?ABC的周长p大于五边形A1B1C1D1E1的周长q。
例4、如图，长方形ABCD的面积为1，BE:EC= 5:2,DF:CF=2:1，求?AEF的面积。
例5、如图，一个长方形恰被分成6个正方形，其中最小的 正方形的面积为1平方厘米，求这个长方形的面积。
例6、如图，AB=BC=a厘米，AD=DC=b厘米，其中a与b是整且a＞b,四边形ABCD的面积是385平方厘米。当这个图形的周最小时，求a:b。
例7、如图，等腰三角形ABC和平行边上的中点，三角形ABC上的高为6厘米，是平行四边形的高的2倍。已知三角形CDE面积是30平方厘米，求三角形ABC的面积。
例8、如图，平行四边形ABCD中，EF‖AC分别交CD、AD于E、连接AE、BE、BF、CF，问与?BCE面积相等的三角形有几个？别是哪几个？
数，长是
底边的
F。分
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初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）
