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______________，x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
例2、在一条直线上，如果给定n个点，那么以它们为端点的线段共有多少条？若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2?,an-1，求所有线段的长度之和。 提示：长度之和S=a1?(n-1) ?1+a2?(n-2) ?2+?+an-1?1?(n-1)
例3、如图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等侵占为，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的长。
例4、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种，求证：必存在同颜色的三个点，使其中一点是另两点连线段的中点。
提示：用构造法。并且用5个点来保证满足条件的点。
例5、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D，请在直线上找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小。
例6、直线上分布着2002个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。试求至少可以得出多少个互不重合的中点。
提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着n个点，结论为2n?3。
例7、点A、B在直线MN的两侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。
例8、点A、B在直线MN的同侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。
例9、两面相邻的墙上分别有两点A、B，如图，问从A到B走怎样的路线，才能使全长最短？（提示：用等角原理。）
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例10、在直线MN的同侧有两点A、B，且AB的连线与MN不平行。请在MN上求一点P，使|PA?PB|为最大。
提示：连接AB交MN于P，则P为所求。
例11、在?ABC中，D是边AB上任意一点，如图，求证：AB+AC＞DB+DC。
例12、P是?ABC内一点，求证
（1）AB+AC＞PB+PC （2）AB+BC+CA＞PA+PB+PC
（3）12＜PA?PB?PCAB?AC?BC＜1
例13、已知P、Q是?ABC内两点，求证：AB+ACBP+PQ
提示：延长BP、CQ相交于D，则AB+AC＞DB+DC=BP+(PD+DQ)+QC＞BP+PQ+QC
第十二讲 角
一、知识要点
1、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2、锐角、直角、钝角、平角、周角。 3、补角、余角。 4、三角形的内角和。
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二、例题示范
例1、如图，∠AOD=α，∠AOB=∠COD=β，∠COE=γ。请用α、β、γ表示∠BOE。
O
例2、如图，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB为直角，∠EOD=70,求∠BOC的度数。
O
O
练习：如图，已知AOD是一直线，∠AOC=120，∠BOD=150，OE平分∠BOC，求∠AOE的度数。
例3、如图，以O为顶点，以OA1，OA2，?，OAn为边小于平角的角有多少个？若αi=∠AiOAi+1， (i=1,2,?,n)求出所有角的和。
答：共有角n(n-1)/2个，角度的总和为α=α1?(n-1)?1+α2?(n-2)?2+?+αn-1?1?(n-1)。 例4、上题中，若每一个角都作一条角平分线，问至少可得出多少条互不重合的有平分线？ 答：2n-3条。
O
例5、过点O任意作14条射线，求证：以O0 顶点的角中至少有一个小于26。
例6、如图，已知直线AB与CD相交于O，OE，OF，OG分别是∠AOC、∠BOD、∠AOD的平分线。求证：（1）E、O、F三点在同一直线上；（2）OG?EF。
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例7、如图是一个3?3的正方形，求图中∠1+∠2+∠3+?+∠9的和。（答：405O
）。 例8、求凸n边形的内角和。
例9、在下图中，找出∠BCD与∠ABC、∠BAC、∠ADC之间的关系。 答：∠BCD=∠ABC+∠BAC+∠ADC。
例10、分别求出下图（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
图（1） 图（2） 图（3） 例11、分别求出一图（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
例12、求下图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数。
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第十三讲 相交线与平行线
一、知识要点
1、平面内两条直线的位置关系：相交或平行。
（1）相交线：如果两条直线有一个公共点，则称为两相交直线； （2）平行线：如果两条直线没有公共点，则称为平行直线。
2、两条直线的垂直：如果两条直线相交所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直。 3、两条直线垂直的两个重要结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 5、两条直线平行的判定： （1）两直线没有公共点； （2）同时与第三条直线平行；
（3）被第三条直线所截，同位角相等； （4）被第三条直线所截，内错角相等； （5）被第三条直线所截，同旁内角互补； （6）垂直于同一直线。
6、两平行直线被第三直线所截，有： （1）同位角相等；（2）内错角相等； （3）同旁内角互补。 二、例题示范
例1、三条直线相交于一点，共可组成几对对顶角？若三条直线两两相交，但未必相交于一点呢？
一般地，n(n?2)条直线两两相交，共可组成几对对顶角？ 提示：n(n-1)。
例2、设a,b,c为锐角三角形?ABC的边长，而为对应边上的三条高线长，求证： ha+,hb+,hc＜a+b+c
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初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）
