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例7（1989年上海初一试题），方程 并且abc≠0，那么x____
cab??。 cab例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组： ?2x1?x2?x3?x4?x5?6?x?2x?x?x?x?1212345???x1?x2?2x3?x4?x5?24 ?x?x?x?2x?x?48234x?1??x1?x2?x3?x4?2x5?96确定3x4+2x5的值.
说明：整体代换方法是一种重要的解题策略. 提示：1、去分母求解；2、将3改写为
?mx?y?z?m?1?例9 解方程组?x?my?z?m?2?x?y?mz?m?3?提示：仿例8，注意就m讨论。
(1)(2) (3)?2x?3y?m?0例10 如果方程组?（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。
?3x?5y?m?2?0提示：1、从（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m ；
2、在（1）中用消元法消去m再与（2）联立求出x,y，再代入（1）求m。 例11 如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。 提示：赋值法。
y?zz?x???x?例12 解方程组?23。
??z?x?3提示：引进新未知数
第四讲 列方程（组）解应用题
一、知识要点
1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等. 2、 列方程解应用题要领：
（1） 善于将生活语言代数化；
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（2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3） 善于寻找数量间的等量关系。 二、例题示范
1、合理设立未知元
例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，男生又走了45 人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？ 提示：（1）直接设元
（2）列方程组：
例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？
例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？ 提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；
（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：
例4 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？ 提示：用列表法分析数量关系。
例5 如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？
提示：间接设元.设第一个星期五的日期为x，
例6 甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？ 提示：直接设元。
例7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。
提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：
商品利润率=[（商品售价—商品进价）?商品进价]?100%。
例8 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8
1千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用1小时，求A、
2B两地相距多少千米？
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提示：1 （选间接元）设坡路长x千米
2 选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米 3 （选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，
2、设立辅助未知数
例9 （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？
提示：引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。
例10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？
提示： 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2。 例 11 有一片牧场，草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)．如果放牧24头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草.
提示 设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。
例 12 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?
提示：要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V 作参数．
3、方程与不等式结合
例13 数学测验中共有20道选择题。评分方法是：每答对一题给6分，答错一题扣2分，不答不给分。有一个学生只有一道题没答，并且他的成绩在60分以上，那么他至少答对多少题？
提示：利用方程、不等式组成的混合组求解。
第五讲 整数指数
一、知识要点 1、定义：an?aa?a （n?2,n为自然数） ???n个a2、整数指数幂的运算法则： （1）am?an?am?n
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??am?nm?n,a?0（2）am?an?am?n???1m?n,a?0 ??1?an?mm?n,a?0（3）(am)n?amn，(ab)n?an?bn，(ananb)?bn(b?0)
3、规定：a0=1(a?0) a?p=
1ap(a?0,p是自然数)。 4、当a，m为正整数时，am的末位数字的规律：
记m=4p+q，q=1,2,3之一，则a4p?q的末位数字与aq的末位数字相同。二、例题示范
例1、计算 (1) 55?23 (2) (3a2b3c)(?5a3bc2)
(3) (3a2b3c)3 (4) (15a2b3c)?(?5a3bc2)
例2、求31001?71002?131003的末位数字。
提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。
例3、23021377?1是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。 提示：运用规律2。
例4、 求证：5|(21997?31998?41999?52000)。 提示：考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。
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例5、已知n是正整数，且x2n=2，求(3x3n)2?4(x2)2n的值。 提示：将所求表达式用x2n表示出来。
例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整数解。 提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。
例7、若n为自然数，求证：10|(n1985?n1949)。
提示：n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。
例8、 若2x9y?2x9y，求x和y。
结论：x=5,y=2。
例9、对任意自然数n和k，试证：n4+24k+2是合数。 提示：n4+24k+2=(n2+22k+1)2?(2n?2k)2。
例10、对任意有理数x，等式ax?4x+b+5=0成立，求(a+b)2003.
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初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）
