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第一讲 有 理 数
一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆
法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小
例1、 已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，
那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？
199797199898例2、 将?,?,?,?这四个数按由小到大的顺序，用“?”连结起来。
199898199999提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个
111数,,的大小关系。 abb?ac
分析：由点B在A右边，知b-a?0，而A、B都在原点左边，故ab?0,又c?1?0,故要比111较,,的大小关系，只要比较分母的大小关系。 abb?ac例4、 在有理数a与b(b?a)之间找出无数个有理数。
b?a提示：P=a?（n为大于是 的自然数）
n注：P的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、?、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非
负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧
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例6、 计算 ?1?2?3???2000?2001?2002
提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数?2。 例7、 计算 1+2?3?4+5+6?7?8+9+??2000+2001+2002 提示：仿例5，造零。结论：2003。 例8、 计算 99?9?99?9?199?9 ?????????n个9n个9n个9提示1：凑整法，并运用技巧：199?9=10n+99?9，99?9=10n ?1。 例9、 计算
111111111111(1?????)?(????)?(1?????)?(????) 232001232002232002232001111111提示：字母代数，整体化：令A?1?????，则 ,B?????232001232001例10、计算
111111（1）；（2） ????????1?22?399?1001?32?498?100提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）
111m?n11??； ??； （2）
n(n?1)nn?1mnmn11111111?(?)； （4）?[?]。
n(n?m)mnn?mn(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（3）
111 （n为自然数） ????1?21?2?31?2?3???n232000
例12、计算 1+2+2+2+?+2 提示：1、裂项相消：2n=2n+1?2n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+?+22000，则S=2S?S=22001?1。
12342000例13、比较S???????2000 与2的大小。
2481621提示：错项相减：计算S。
2
例11 计算 1?
第二讲 绝 对 值
一、知识要点
1、绝对值的代数意义；
2、绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|；
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3、绝对值的性质：
（1）|-a|=|a|, |a|?0 , |a|?a； （2）|a|2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a||b|； （4）|a|a|b|?|b|（b?0）； 4、绝对值方程：
（1） 最简单的绝对值方程|x|=a的解：
??aa? x??0?0a?0
??无解a?0（2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键：
（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范
例1 已知a?0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b= ，满足条件的a有几个？
例3 已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
例4 已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc?0，求b?cc?aa?b|a|?|b|?|c|的值。注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：
例6 已知x???3，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|?7。
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提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。 结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，
且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.
例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.
例12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
b∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=||＞0，∴|b|＞1.
a同理可证|a|＞1. ∴a、b都不在-1与1之间.
例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小?3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？
例14 解方程
1（1）|3x-1|=8 （2） ||x-2|-1|=
2（3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.
例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.
分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.
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第三讲 一次方程（组）
一、基础知识
1、方程的定义：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程：ax=b。
b?当a?0时，有唯一解x?;?a?其解的情况：?当a?b?0时，解这任意数；
?当a?0,b?0时，无解。??5、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元
一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。 二、例题示范
111x?2例1、 解方程{[(?4)?6]?8}?1
97532kx?ax?bk例2、 关于x的方程中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总?2?36是1，求a、b的值。
提示：用赋值法，对k赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果
/
方程ax+b=0的解小于ax+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。
例4 解关于x的方程a2(1?x)?ax?1.
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论
例5 k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。 例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析 依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法
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初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）
