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(完整版)专升本数学公式汇总.doc

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专升本高等数学公式

一、求极限方法:

1、当 x 趋于常数 x0 时的极限:

lim(ax

x x 0

2

bx

c) ax

2

0

bx 0 c ; lim

ax b

当 cx0 d 0 ax 0

b

x x 0 cx d

cx 0 d

ax b 当 cx 0 d 0,但 ax 0 b 0

lim

x x cx d

0

lim

ax

2

cxdx e x x 0 于常数 时的极限:

3、可以使用洛必达发则:

2 bx f

当cx dx e 0,且ax bx f 0

可以约去公因式后再求解。 2、当 x 趋

22

lim f (x) 当 x x g(x)

时, f (x) 与 g(x) 都

0或

lim f (x) ;对 x

x g (x)

也同样成立。而且,只 0

要满足条件,洛必达发则可以多次使用。

二、求导公式: 1、 c 0 ;2、 n (x ) 6、 (ln x)

1

n 1 ; 、 x

3 (a ) nx

; 、 x x x a lnx 4 (e ) e ;5、 (log a x)

1

xlna

; 7、 (sin x) cos x ;8、 (cosx) x

2 sin x ;9、 (tan x)

sec2 x

10、

csc x ;11、 (secx)

1

13 、 (arcsin x) ; 14 、 (arccos x)

2

1 x

(cot x)

; 、

secxtan x 12 (cscx)

cscxcot x

1 1 x2

; 15 、 (arctan x)

1 1 x 2

; 16 、

(arccot x)

1 ; 17 、 (shx)

1 x2

1 ; 21、 (archx) 1 x 2

chx ; 18 、 (chx)

shx

; 19 、 (thx)ch

2

x ; 20 、

(arshx)

1

; 22、 (arthx)

x 2 1

1 ;

1 x 2

三、求导法则: ( 以下的 5、 7、 8 三点供高等数学本科的学员参阅 ) 1、 (u(x)

v(x))

u (x) v (x) ;2、 (kv(x)) v(x)u (x)

kv (x) ; u(x)

(u(x) v(x))

v (x)u(x)

u (x)v(x)

v (x)u(x)

3、

;4、 ( v(x) )

v 2 (x)

4、复合函数 y f[ ( x)]的求导: f [ ( x)]=f (u)u (x), 其中 u= (x) 。

n

5、莱布尼茨公式: (uv) (n ) =

c uv

nk(n k )

(k )

k 0

6、隐函数求导规则:等式两边同时对 x 求导,遇到含有 y 的项,先对 y 求导,再乘以 y 对

x 的导数,得到一个关于 y 的方程,求出 y 即可。

7、参数方程

{

x g(t) 的求导: dy f (t)

y f(t)

d

2

d f (t) ( f (t)

g (t) dx

g (t) dx dt

)

y

,高阶导数依次类推,分

dx g (t) dx 2

母总是多一个 ,这一点和显函数的求导不一样,要注意!

dt

四、导数应用:

1、单调性的判定:导数大于零,递增;导数小于零,递减。 2、求极值的步骤:

方法一:求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。

方法二:求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号,二阶导小于零,有极大值,二阶导大于零,有极小值。 4、求最值的步骤:

求导、求驻点及使导数不存在的点、 求出上述点处的函数值并进行比较、 最大的即是最大值,最小的是最小值。

5、凸凹的判定:二阶导大于零则为凹;二阶导小于零则是凸。 6、图形描绘步骤:

确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性;求出一阶导、二阶导及各自的根;划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点;确定水平及铅直渐近线;根据上述资料描画图形。

五、积分公式: 1 、 kdx

dx

kx c ; 2 、 x dx

adx

x

ax c ; 6、 cosxdx sin x c 7、 sin xdx lna

11 x

( 1)

1 c ; 3 、 1 dx ln x c ; 4 、 edx e c ; 5、

x

xx

cosx c ;

8、 tan xdx ln|cos x| c ;9、 cot xdx ln|sin x| c; 10、 csc xcot xdx

cscx c cot x c ;

11、 secxtan xdx sec x c ;12、 sec2 xdx tan x c ; 13、 csc 2 xdx

14、 shxdx chx 17、 cscxdx

c ;15、 chxdx shx c ; 16、 secxdx ln | secx tan x | c ;

ln | cscx cot x | c ;18、

1

dx

arctan x c ;

2

x2 1

2 dx

19、

1 1 x2

1

2

dx arcsin x

c ; 20、

1

a x

1 x

arctan c,(a 0) ; a a

21、

2 dx

1 2a

ln |

a x a x

|

c,(a 0) ;22、

a x

arcsin c ; 1 dx

a2 x2 a

x

23、 arcsinxdx xarcsinx 1 x2 c ;24、 arccosxdx xarccosx 1 x2 c ;

25、 arctanxdx xarctanx ln 27、 udv uv

vdu ;

1 x 2 c ; 26、 arccot xdx xarccot x ln 1 x 2 c ;

六、定积分性质:

1、 kf(x)dx

b

k

c a

b a

f(x)dx ;2、 [f(x)

a

b c

b

g(x)]dx

b a

f(x)dx

b a

g(x)dx

a

3、 f(x)dx

a b

b

f(x)dx

f(x)dx ; 4、

b

dx

b a ;5、 f(x)dx

a

ba

b

f(x)dx ;

a

6、 f(x)dx

a

f( )(b a),

(a,b) ;

7、 udv uv 8、 ( f(t)dt)

a

x

vdu ;

f(x) ; 9、

a

a

f(x)dx {

x是偶函数

x是奇函数

0

a

10、 udv (uv) |

b

b b

a a

2 0 f(x)dx

f(x)dx

lim b

vdu ;

11、

a

b

f(x)dx ;

a

a

12、

f(x)dx

lim a

f(x)dx a

c

f(x)dx ; lim

c b

b

七、多元函数

p(x 1,x 2, ... , xn ),Q(y 1,y 2, ..., yn ) 的距离 1、N 维空间中两点之间的距离公式:

2、多元函数 z 比如,

f(x,y) 求偏导时, 对谁求偏导, 就意味着其它的变量都暂时看作常量。

z

表示对 x 求偏导,计算时把 y 当作常量,只对 x 求导就可以了。

x

3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关,即

2 z

2

z 。

x y

y x

4、多元函数 z f(x,y) 的全微分公式:

dz

z x

dx

z y

dy

5、复合函数 z f(u, v),u(t), v

(t) ,其导数公式:

dz dt z du

u dt

z dv 。 v dt

6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式:

dy dX

FX

Fy

,其中 Fx ,F y 分别表示对 x,y 求偏导数。

7、求多元函数 z=f(x , y)

极值步骤:

第一步:求出函数对

x , y 的偏导数,并求出各个偏导数为零时的对应的

A,f xy (x 0 , y 0 ) B,f yy (x 0, y 0 )

C

x,y 的值

第二步:求出 f xx (x 0 , y 0 )

第三步:判断 AC-B2 的符号,若 AC-B2 大于零,则存在极值,且当 A 小于零是极大值, 当 A 大于零是极小值;若 AC-B2 小于零则无极值;若 AC-B2 等于零则无法判断

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