专升本高等数学公式
一、求极限方法：
1、当 x 趋于常数 x0 时的极限：
lim(ax
x x 0
2
bx
c) ax
2
0
bx 0 c ； lim
ax b
当 cx0 d 0 ax 0
b
；
x x 0 cx d
cx 0 d
ax b 当 cx 0 d 0,但 ax 0 b 0
lim
x x cx d
0
；
lim
ax
2
cxdx e x x 0 于常数 时的极限：
3、可以使用洛必达发则：
2 bx f
当cx dx e 0,且ax bx f 0
可以约去公因式后再求解。 2、当 x 趋
22
lim f (x) 当 x x g(x)
时， f (x) 与 g(x) 都
0或
lim f (x) ；对 x
x g (x)
也同样成立。而且，只 0
要满足条件，洛必达发则可以多次使用。
二、求导公式： 1、 c 0 ；2、 n (x ) 6、 (ln x)
1
n 1 ； 、 x
3 (a ) nx
； 、 x x x a lnx 4 (e ) e ；5、 (log a x)
1
xlna
； 7、 (sin x) cos x ；8、 (cosx) x
2 sin x ；9、 (tan x)
sec2 x
10、
csc x ；11、 (secx)
1
13 、 (arcsin x) ； 14 、 (arccos x)
2
1 x
(cot x)
； 、
secxtan x 12 (cscx)
cscxcot x
1 1 x2
； 15 、 (arctan x)
1 1 x 2
； 16 、
(arccot x)
1 ； 17 、 (shx)
1 x2
1 ； 21、 (archx) 1 x 2
chx ； 18 、 (chx)
shx
； 19 、 (thx)ch
2
x ； 20 、
(arshx)
1
； 22、 (arthx)
x 2 1
1 ；
1 x 2
三、求导法则： ( 以下的 5、 7、 8 三点供高等数学本科的学员参阅 ) 1、 (u(x)
v(x))
u (x) v (x) ；2、 (kv(x)) v(x)u (x)
kv (x) ； u(x)
(u(x) v(x))
v (x)u(x)
u (x)v(x)
v (x)u(x)
3、
；4、 ( v(x) )
v 2 (x)
4、复合函数 y f[ （ x）]的求导： f [ （ x）]=f (u)u (x), 其中 u= (x) 。
n
5、莱布尼茨公式： (uv) (n ) =
c uv
nk(n k )
(k )
。
k 0
6、隐函数求导规则：等式两边同时对 x 求导，遇到含有 y 的项，先对 y 求导，再乘以 y 对
x 的导数，得到一个关于 y 的方程，求出 y 即可。
7、参数方程
{
x g(t) 的求导： dy f (t)
y f(t)
；
d
2
d f (t) ( f (t)
g (t) dx
g (t) dx dt
)
y
，高阶导数依次类推，分
dx g (t) dx 2
母总是多一个 ，这一点和显函数的求导不一样，要注意！
dt
四、导数应用：
1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。 2、求极值的步骤：
方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。
方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。 4、求最值的步骤：
求导、求驻点及使导数不存在的点、 求出上述点处的函数值并进行比较、 最大的即是最大值，最小的是最小值。
5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。 6、图形描绘步骤：
确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。
五、积分公式： 1 、 kdx
dx
kx c ； 2 、 x dx
adx
x
ax c ； 6、 cosxdx sin x c 7、 sin xdx lna
11 x
( 1)
1 c ； 3 、 1 dx ln x c ； 4 、 edx e c ； 5、
x
xx
cosx c ；
8、 tan xdx ln|cos x| c ；9、 cot xdx ln|sin x| c； 10、 csc xcot xdx
cscx c cot x c ；
11、 secxtan xdx sec x c ；12、 sec2 xdx tan x c ； 13、 csc 2 xdx
14、 shxdx chx 17、 cscxdx
c ；15、 chxdx shx c ； 16、 secxdx ln | secx tan x | c ；
ln | cscx cot x | c ；18、
1
dx
arctan x c ；
2
x2 1
2 dx
19、
1 1 x2
1
2
dx arcsin x
c ； 20、
1
a x
1 x
arctan c,(a 0) ； a a
21、
2 dx
1 2a
ln |
a x a x
|
c,(a 0) ；22、
a x
arcsin c ； 1 dx
a2 x2 a
x
23、 arcsinxdx xarcsinx 1 x2 c ；24、 arccosxdx xarccosx 1 x2 c ；
25、 arctanxdx xarctanx ln 27、 udv uv
vdu ；
1 x 2 c ； 26、 arccot xdx xarccot x ln 1 x 2 c ；
六、定积分性质：
1、 kf(x)dx
b
k
c a
b a
f(x)dx ；2、 [f(x)
a
b c
b
g(x)]dx
b a
f(x)dx
b a
g(x)dx
a
3、 f(x)dx
a b
b
f(x)dx
f(x)dx ； 4、
b
dx
b a ；5、 f(x)dx
a
ba
b
f(x)dx ；
a
6、 f(x)dx
a
f( )(b a),
(a,b) ；
7、 udv uv 8、 ( f(t)dt)
a
x
vdu ；
f(x) ； 9、
a
a
f(x)dx {
x是偶函数
x是奇函数
0
a
；
10、 udv (uv) |
b
b b
a a
2 0 f(x)dx
f(x)dx
lim b
vdu ；
11、
a
b
f(x)dx ；
a
a
12、
f(x)dx
lim a
f(x)dx a
c
f(x)dx ； lim
c b
b
七、多元函数
p(x 1,x 2, ... , xn ),Q(y 1,y 2, ..., yn ) 的距离 1、N 维空间中两点之间的距离公式：
2、多元函数 z 比如，
f(x,y) 求偏导时， 对谁求偏导， 就意味着其它的变量都暂时看作常量。
z
表示对 x 求偏导，计算时把 y 当作常量，只对 x 求导就可以了。
x
3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即
2 z
2
z 。
x y
y x
4、多元函数 z f(x,y) 的全微分公式：
dz
z x
dx
z y
dy
。
5、复合函数 z f(u, v),u(t), v
(t) ，其导数公式：
dz dt z du
u dt
z dv 。 v dt
6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式：
dy dX
FX
Fy
，其中 Fx ,F y 分别表示对 x,y 求偏导数。
7、求多元函数 z=f(x , y)
极值步骤：
第一步：求出函数对
x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的
A,f xy (x 0 , y 0 ) B,f yy (x 0, y 0 )
C
x,y 的值
第二步：求出 f xx (x 0 , y 0 )
第三步：判断 AC-B2 的符号，若 AC-B2 大于零，则存在极值，且当 A 小于零是极大值， 当 A 大于零是极小值；若 AC-B2 小于零则无极值；若 AC-B2 等于零则无法判断
(完整版)专升本数学公式汇总.doc
