华侨大学2018年硕士招生考试初试自命题科目试题 （答案必须写在答题纸上） 招生专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 一、（本题20分） ?x1?x2?1?x?x?a?34给定线性方程组?，问当a,b满足什么条件时方程组有解？并在有解x?x?1?13??x2?x4?b时求其通解。 二、（本题20分） ?211???设A??121?，求一个正交矩阵P，使得PTAP??为对角阵。 ?112???三、（本题20分） （1）求多项式f(x)?x3?3x2?2x?2的有理根。 （2）设g(x)是整系数多项式，若g(1),g(2)都是奇数，证明：g(x)没有整数根。 四、（本题20分） 设Mn(F)是数域F上n阶矩阵全体构成的线性空间，A?Mn(F)，记F[A]??f(A)|f(x)?F[x]?。 （1） 证明：F[A]是Mn(F)的子空间。 ?012???（2） 若A??001?，求F[A]的一组基与维数。 ?000???（3） 设A的极小多项式mA(x)?xm?am?1xm?1?与维数。 共 2 页 第 1 页?a1x?a0，求F[A]的一组基
招生专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 五、（本题20分） 设A是数域F上n阶矩阵，定义矩阵空间Mn(F)上的变换：?(X)?AX?XA。 （1）证明：?是Mn(F)上的线性变换。 ?10?（2）若A??求?在自然基E11,E12,E21,E22下的矩阵B，并求Im(?)和Ker(?)。 ?，?02?六、（本题15分） 证明：任意n阶矩阵都可以唯一写成对称矩阵与反对称矩阵之和。 七、（本题20分） 设?是数域F上n维线性空间V上的线性变换。证明：存在V上的线性变换?,?，使得????，其中?是可逆变换，?2=?。 八、（本题15分） 设A是复数域上n阶矩阵且秩满足r(A)?r(A2)。证明：A相似于分块矩阵?BO???，其中B是可逆矩阵。 ?OO?共 2 页 第 2 页
华侨大学2018年硕士招生考试初试自命题科目试题813
