解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x,设10x=t,上式化为：2y=t-t-1两边乘t,得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0,解得：
由于t=10x＞0,故将舍去,得到：将t=10x代入上式,即得:
所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是
(2)由得:
∴f-1(-x)=-f(x)
所以,函数 是奇函数。
说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是
,它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的
题目。进一步还可以研究它们的单调性,如1992年高考数学试题：函数y=((ex-e-x)/2)的反函数
（A）是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数； （B）是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数； （C）是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数； （D）是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数。
②函数y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax构造而得,全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数, 求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数； （2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
而f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发,由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数,比如,y=((ax-a-x)/2)；y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底,作函数sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质： (1)ch2(x)-sh2(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令x=y,则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x); (9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)
其中①⑧⑨合起来,就是课本P107的第8题。
例7．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1) （1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明； （3）当a＞1时,求使f(x)＞0的x取值范围； （4）求它的反函数f-1(x)
解：（1）由对数的定义域知((1+x)/(1-x))＞0 解这个分式不定式,得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1 故函数f(x)的定义域为（-1,1）
（2）f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知,函数f(x)是奇函数。
（3）由loga((1+x)/(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)/(1-x))＞loga1,
因为a＞1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))＞1,考虑由（1）知x＜1,1-x＞0,去分母,得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1 所以对于a＞1,当x∈(0,1)时函数f(x)＞0
（4）由y=loga((1+x)/(1-x))得：((1+x)/(1-x))=ay应用会比分比定理得：((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1)) ∴x=((ay-1)/(ay+1))交换x,y得：
y=((ax-1)/(ax+1)),它就是函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1))
说明：（1）函数y=loga((1+x)/(1-x))与y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取a=e,函数y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。
（2）已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))（P89习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质。 （3）y=ax与y=logax；y=((ax-a-x)/2)与
；y=((ax-1)/(ax+1))与
y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。
例8．22003的十进制表示是个P位数,52003的十进位表示是个q位数,则p+q= 。 解：∵22003是个P位数, ∴10p-1＜22003＜10p ①
∵52003是个q位数, ∴10q-1＜52003＜10q ② ①×②得:10p+q-2＜(2×5)2003＜10p+q 即10p+q-2＜102003＜10p+q ③ ∴2003=p+q-1 ∴p+q=2004
例9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根,求实数a的范围。 解：方程有一正根一负根的充分必要条件是： loga(a2-a)＜0（由韦达定理而来）①
由a＞0,a≠1,a2-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②,从而由loga(a2-a)＜0=loga1得:a2-a＜
1,a2-a-1＜0,解得: ③,由②③得：
例10．设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0),求使y为负值的x的取值范围 解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1＞1, 即a2x+2(ab)x-b2x＞0 →b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0 →[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0 → →∵ →
.
1°当a＞b＞0时,a/b＞1, 2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1, 3°当a=b＞0时,x∈R。 练习四
；
1．设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么（ ）
（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)
2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)( ) （A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数 3．若f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4．求值：6lg40×5lg36
5．已知m,n为正整数,a＞0,a≠1,且
logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n 6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间（ ） （A）（-2,-1） （B）（1,2） （C）（-3,-2） （D）（2,3） 7．计算：
（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)2
8．若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则log8(x2+y2)= 。
高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数
