高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。 一、 指数概念与对数概念：
指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方,这里的n为正整数。从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b 其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
ab=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1．指数运算性质主要有3条：
ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 2．对数运算法则（性质）也有3条： （1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN （3）logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0)
3．指数运算与对数运算的关系：
X=alogax；mlogan=nlogam
4．负数和零没有对数；1的对数是零,即 loga1=0；底的对数是1,即logaa=1 5．对数换底公式及其推论： 换底公式：logaN=logbN/logba 推论1：logamNn=(n/m)logaN
推论2：
三、指数函数与对数函数
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是： （1）定义域为全体实数（-∞,+∞）
（2）值域为正实数（0,+∞）,从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 （3）对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 （4）单调性是：当a>1时为增函数；当0 （5）无奇偶性,是非奇非偶函数,但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。 （6）有两个特殊点：零点（0,1）,不变点（1,a） （7）抽象性质：f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是： （1）定义域为正实数（0,+∞） （2）值域为全体实数（-∞,+∞） （3）对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 （4）单调性是：当a>1时是增函数,当0 （5）无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称,y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称,y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。 （6）有特殊点（1,0）,(a,1) （7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x·y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y) 例1．若f(x)=(ax/(ax+√a)),求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001) 分析：和式中共有1000项,显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征,发现规律,注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1, 而 f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加： 原式 =[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500 说明：观察比较,发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。 （1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。 （2）上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+3)),和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n). （3）设f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前n项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。 例2．5log25等于：（ ）
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