高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

由天下分享时间：2025/1/5 2:36:34 加入收藏我要投稿点赞

第七讲不定方程

不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3x?4?19只有一个解x?5，方程组?x?2y?5?x?1只有一组解． ??2x?3y?8y?2??什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程x?2y?5的解就不唯一，因为每当y取定一个数值时，x就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时，这个方程（或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．．．

可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这

无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对．

练一练

求下列方程的自然数解：（1）x?2y?5；

（3）3x?2y?1；

（4）4x?5y?20．

（2）2x?3y?8；

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”．

形如ax?by?c（a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．

例1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请

问：张明共买了多少支铅笔？

「分析」设张明买了甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，可以列出不定方程：7x?3y?50，其中x和y都是自然数．怎么求解呢？

练习1、（1）求3x?5y?35的所有自然数解；（2）求11x?12y?160的所有自然数解．

?x?m?x?m?b一般地，如果?是ax?by?c的一组解，那么?（当n?a时）也是

y?ny?n?a??的一组解．这是因为ax?by?c?x?m?ba?m?b??b?n?a???am?ab???bn?ab??am?bn?c．另外，（当m?b时）?y?n?a?也是ax?by?c的一组解，理由相同．

这条性质有什么用呢？我们以求2x?3y?50的自然数解为例，我们容易看出它有

?x?10一组自然数解?．应用上面的规律，x每次增加3，y每次减少2（只要y还是自

y?10??x?13?x?16?x?19?x?22然数），所得结果仍然是2x?3y?50的一组解，所以?、、、、???y?2y?8y?6y?4?????x?25都是2x?3y?50的自然数解．另外x每次减少3（只要x还是自然数），y每次??y?0?x?7?x?4?x?1增加2，所得结果也是2x?3y?50的自然数解，所以?、?、?也都

y?12y?14y?16???是2x?3y?50的自然数解．而且这样就已经求出了2x?3y?50的所有自然数解，它们是：

?x?1?x?4?x?7?x?10?x?13?x?16?x?19?x?22?x?25、、、、、、、、． ?????????y?2y?0y?16y?14y?12y?10y?8y?6y?4?????????ax?by?cabc这就告诉我们，在求形如（、、为正整数）的不定方程的自然数解时，

我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x值每次变化b，y值每次变化a得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax?by的大小不变）．

采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋．采购员要例2．

恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？

「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？

练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？

前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．

例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一

人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？

「分析」不妨设甲小队有x人，乙小队有y人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？

练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？