点到直线的距离公式的七种推导方法
已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）
一、 定义法
证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1， 设点P到直线l的垂线为 l'，垂足为Q，由 l'?l可知 l'的斜率为
B AyB(x?x0)与l联立方程组 AB2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BC,) 解得交点Q(2222A?BA?B?l'的方程：y?y0?PQll'x二、 函数法
证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得： 当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?图1|Ax0?By0?C|A?B22
三、不等式法
证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式：
(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2
当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?四、转化法
yy证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥ 轴交l于M 显
然
|Ax0?By0?C|A?B22
PMCx1?x0所以
A?x y1??0blQxlyQPM(x1,y1)xAx0?CAx?By0?C图2|?|0|
BB易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝1800??（图3）
1A222在两种情况下都有tan?MPQ?tan??2所以 cos?MPQ??2B1?tan??|PM|?|y0?五、三角形法
证：P作PM∥ y轴交l于M，过点P作PN∥ x轴交l于N（图4） 由解法三知|PM|?|图3|B|A?B22
yPMNAx0?By0?CAx?By0?C|；同理得 |PN|?|0|
BAQx在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
六、参数方程法
证：过点P(x0,y0)作直线 l':?l图4?x?x0?tcos?交直线l于点Q。(如图1)
?y?y0?tsin?由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入 l得Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0
Ax0?By0?C|...........(1)
?Acos??Bsin?当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系：
A0当 ?为锐角时 （tan????0,不妨令A>0,B<0）有??90??（图2）
BA0当 ?为钝角时 （tan????0,不妨令A>0,B>0）有????90（图3）
B整理后得 |t|?|得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t|?||Ax0?By0?C||Ax0?By0?C| ?22A2B2A?B?|A2?B2A2?B2yPQx图五 七、向量法
证：如图五，设直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0的)一个法向量直线上任意一点，则PQ?(x1?x0,y1?y0)。从而点P到直线的距离为：
lBn?(1,)，Q
AB(y1?y0)||A(x?x)?B(y?y)||n?PQ|1010Ad???|n|B2A2?B21?2附：
A|Ax1?By1?Ax0?By0||Ax0?By0?C|P点在直线l上,?Ax1?By1?C?0,从而d??22A?BA2?B2|x1?x0?方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的
P(x0,y0)B斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，
A出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，距离为d yRQoSlxd并由l与PQ的方程求得到点P到直线l的相交，过点P作x轴
王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都
的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，
由??A1x1?By0?C?0?By0?C?Ax0?C,y2?得x1?. AB?Ax0?By2?C?0所以，｜PＲ｜＝｜x0?x1｜＝
Ax0?By0?C
A｜PS｜＝｜y0?y2｜＝
Ax0?By0?C
BA2?B2×｜Ax0?By0?C｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PAB｜ＲS｜＝PR?PS?22Ｒ｜·｜PS｜ 王新敞所以d?Ax0?By0?CA?B22
可证明，当A=0时仍适用
王新敞
点到直线的距离公式的七种推导方法
