(2)∵AB是直径，BC为切线， ∴AB⊥BC 又EF∥BC，
∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,
1(HF+EH)=3，HG=1 2DB平分∠EDF， 又BF∥CD，
GF＝GE＝
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2 ∴cos∠BHG＝
HG1＝，∠BHG＝60°. HB2∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°. ∴弧BE＝【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.
12×43?＝633?
15．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）23 【解析】 【分析】
（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．
（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为23． 【详解】
解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF， 则AF为直径，∠ABF＝90°， ∵?AB??AB， ∴∠ACB＝∠F， ∵∠BAE＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠FAB+∠F＝90°， ∴∠FAB+∠BAE＝90°， ∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A． （2）连接OC， ∵AE∥BC， ∴∠BAE＝∠ABC， ∵∠BAE＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB＝2， ∴∠AOC＝∠AOB， ∵OC＝OB， ∴OA⊥BC，
1BC＝3， 2在Rt△ABH中，
∴CH＝BH＝AH＝AB2?BH2＝1，
在Rt△OBH中，设OB＝r， ∵OH2+BH2＝OB2， ∴（r﹣1）2+（3）2＝r2， 解得：r＝2， ∴DB＝2r＝4，
在Rt△ABD中，AD＝BD2?AB2＝42?22＝23， ∴AD的长为23．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.
16．如图，（1）求证：（2）若②当
是大半圆的直径，是小半圆的切线； ，点在上运动（点不与时，求
两点之间的距离.
两点重合），设
，
.
是小半圆的直径，点是大半圆上一点，
与小
半圆交于点，过点作
于点.
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
【答案】（1）见解析；（2）①或
. 【解析】 【分析】
，，②两点之间的距离为
（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP?OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离． 【详解】 （1）连接
，如图1所示
∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴∵
是小半圆的直径，
即
，
，
.，即
经过半径
，
的外端，且，
∴直线∴∴∴∴∴∵∴
,
是小半圆的切线.
（2）①∵
∽
,
，
；当点与点重合时，
两点重合）， ，
.
当点与点重合时，∴
∵点在大半圆上运动（点不与
∴与之间的函数关系式为自变量的取值范围是②当解得Ⅰ当
时，,
时，如图2所示
在∵∴∴∵∴∵∴∴
中， ，
，
， 是等边三角形
.
Ⅱ当
时，如图3所示，
同理可得∵∴∴过点作∵∴同理在∵∴
，垂足为，连接
，
，如图3所示
中， ，
2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案
